Tomográfiás képrekonstrukció ortogonális polinomok szerinti sorfejtéssel

Surányi Olivér III. évf.

Konzulens: Dr. Légrády Dávid, Nukleáris Technika Tanszék

A tomográfiás képalkotás matematikáját az úgynevezett Radon-transzformációval formalizálhatjuk. Az így kapott függvény ábrázolását szinogramnak nevezzük. A képrekonstrukció célja a transzformáció inverzének kiszámítása. A direkt inverziós formula numerikus alkalmazása viszont nem lehetséges, mivel a benne szereplő integrál Riemann-értelemben nem végezhető el. A Fourier-transzformáció segítségével ezt a nehézséget megoldhatjuk, így kaphatjuk meg a gyakorlatban mind a mai napig alkalmazott szűrt visszavetítést. Ennek azonban szintén van gyenge pontja: a szűrési lépés. Ez szükséges a megfelelő minőségű és kontrasztú kép előállításához, viszont alkalmazása felerősíti a zajokat, ezért zajos szinogramon nehezen használható.

A szűrt visszavetítés előbb említett gyengeségeinek kiküszöbölése végett egy másik rekonstrukciós algoritmust teszteltem. Az alapötlet a következő: bontsuk fel a szinogramunkat analitikus függvények összegére. Mivel a Radon-transzformáció (és így az inverze is) lineáris, az inverz transzformációt elvégezhetjük külön-külön az összeg tagjaira. Ha tudunk találni olyan teljes függvényrendszert, amely tagjait analitikusan Radon-transzformálva egy másik, numerikusan előállítható függvényrendszert kapunk, akkor a rekonstrukció elvégezhető. Ehhez elegendő a szinogramot az adott bázisfüggvények szerint sorbafejteni, majd az így meghatározott együtthatók segítségével a kép előállítható.

TDK-dolgozatomban egy ilyen lehetséges függvényrendszer-párt vizsgálok. Levezetem, hogy a szögváltozó szerint Fourier-sorfejtés esetén a transzformált szintén Fourier sor alakban fog előállni és csak a radiális rész változik. Ennek transzformációja során viszont ismét numerikus nehézségek lépnek fel, ezért a képet a szinogram-térben az affin paraméter szerint másodfajú Csebisev-polinomokkal fejtem sorba, majd megmutatom, hogy ezek Radon-transzformálva az optikában is használt Zernike radiális polinomokat adják.

Kutatómunkám során ezeknek az ortogonális polinomrendszereknek a tulajdonságait is megismertem. Az imént ismertetett algoritmust MATLAB-nyelven implementáltam, így az elmélet helyességét gyakorlatban is igazoltam. A továbbiakban az eljárás hatékonyságát különböző tesztek (zajanalízis, felbontás-analízis) segítségével a szűrt visszavetítéssel fogom összehasonlítani. Amennyiben lehetőségem lesz rá, az algoritmust valódi mérési adatokon is ellenőrizni fogom.

Irodalom:

1. S. R. Deans, „The Radon Transform and Some of Its Application”, John Wiley & Sons, Inc., New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore (1983).

2. F. Natterer, „Mathematical Methods in Image Reconstruction”, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia (2001).

3. G. A. Papakostas, Y. S. Boutalis, C. N. Papaodysseus, D. K. Fragoulis, „Numerical error analysis in Zernike moments computation”, Image and Vision Computing, Vol. 24, No. 9, 960–969 (2006).

szerző

Surányi Olivér
fizika
nappali

konzulens

Dr. Légrády Dávid
Egyetemi docens, Nukleáris Technika Tanszék

helyezés

Jutalom

letöltés
10 865 kB