Háromszöghálók paraméterezése geometriai kényszerek figyelembevételével

Adott a térben egy geometriailag komplex, többszörösen görbült háromszögháló. Célunk a háló paraméterezése, vagy más szóval síkba terítése. Számos számítógépes grafikai vagy geometriai feladat megoldása során szükség lehet a háló valamilyen paraméterezésére, ilyen például a (i) textúrázás, (ii) felületillesztés, valamint (iii) háromszöghálók javítása és újrastrukturálása.

A differenciálgeometria egyik alapvető eredménye, hogy egy (gaussi) görbülettel rendelkező felület általában nem képezhető le a síkra torzítás nélkül. A paraméterezési eljárások során ezért különböző torzítási mértékek minimalizálását tűzzük ki, például a háromszögek (i) szögeinek, (ii) területének vagy (iii) egybevágóságának optimális megőrzését.

A paraméterezés a számítógépes geometria és grafika egyik legintenzívebben kutatott témája [1][2][3], a feladat igen összetett, a geometriai optimalizálás mellett a számítások hatékonyságát is biztosítani kell.

A legtöbb alkalmazás számára létfontosságú, hogy a paraméterezés kielégítsen bizonyos geometriai kényszereket. A szakirodalomban elsősorban a kényszerek két fajtájának szentelnek figyelmet: textúrázás esetén gyakran diszkrét pozíciókat kötnek meg, négyszöghálók generálása esetén pedig kívánatos, hogy az éles élek mentén valamely paramétertér-béli koordináta konstans legyen. Jelen dolgozat magasabb szintű, ún. alaksajátosság alapú kényszerek figyelembevételére összpontosít. Ilyen kényszernek minősül például, hogy (i) élek valamely sorozata képződjön egy egyenes szakaszra, (ii) egy zárt görbe csúcspontjai illeszkedjenek egy körre, (iii) egy síkszerűnek tekinthető görbe, vagy (iv) egy kiválasztott tartomány alakja őrződjön meg a paraméterezésben - úgy, hogy közben természetesen továbbra is törekedjünk valamilyen torzítási mérték minimalizálására.

Az alaksajátosság alapú paraméterezés új kutatási téma. A szakirodalom áttekintését és értékelését követően megvizsgáljuk hogyan lehetséges geometriai kényszereket figyelembe venni ismert algoritmusok kiterjesztésével, illetve egy már kiszámított leképezés iteratív módosításával. A matematikai algoritmusokat implementáljuk, és a korábbiakban felsorolt feladatok megoldását több példa segítségével mutatjuk be. A kifejlesztett algoritmusok gyakorlati alkalmazásaként optimális paraméterezést határozunk meg szabadformájú felületek rekonstrukciójához.

[1] Floater, M. S., & Hormann, K. (2005). Surface parameterization: a tutorial and survey. Advances in multiresolution for geometric modelling (pp. 157-186). Springer.

[2] Sheffer, A., et al. (2006). Mesh parameterization methods and their applications. Foundations and Trends in Computer Graphics and Vision, 2(2), 105-171.

[3] Hormann, K., et al. (2007). Mesh parameterization: Theory and practice. SIGGRAPH 2007 Course Notes. http://www.inf.usi.ch/hormann/parameterization/CourseNotes.pdf

szerző

• 
  Vaitkus Márton
  villamosmérnöki
  nappali

konzulens

• 
  Dr. Várady Tamás
  egyetemi tanár, Irányítástechnika és Informatika Tanszék
  

helyezés