Harmadfokú ME eloszlások explicit karakterizációja

Harmadfokú ME eloszlások explicit karakterizációja

Tömegkiszolgálási rendszerek modellezésekor sokszor jutunk túl bonyolult modellekhez. Ilyen esetekben egyszerűbb, könnyebben elemezhető közelítő modellekkel kell minél jobban leírni az eredeti rendszer viselkedését. Hasonlóképp olyan általános sorbanállási rendszerek elemzésére, ahol az igények érkezése és/vagy kiszolgálása tetszőleges eloszlást követ, hatékony módszerek nincsenek. Ekkor használhatók különböző eloszlások a közelítéshez.

Kellemes tulajdonságaik miatt az ún. phase type (PH) eloszlásokat gyakran alkalmazzák approximációra. Ugyanis rendelkeznek sztochasztikus interpretációval, de ami fontosabb, hogy hatékony eljárások állnak rendelkezésre egy ilyen rendszer tranziens és egyensúlyi viselkedésének meghatározására. Az approximáció célja, hogy minél pontosabb illesztést találjunk úgy, hogy közben a rendszer komplexitása, azaz az alkalmazott PH eloszlás dimenziója, ne legyen túl nagy. Ilyen szempontból a PH eloszlások családja elég szűk, ezért szükség van olyan eloszlás családra mely rögzített dimenzió mellett nagyobb rugalmasságot biztosít. A mátrix exponenciális (ME) eloszlások [1] ennek a feltételnek felelnek meg.

Az ME eloszlások a PH eloszlások kiterjesztéseként értelmezhetők úgy, hogy a PH eloszlások strukturális megkötéseit feloldjuk. Ezzel biztosítva van egy adott dimenzió mellett a nagyobb szabadság. Ráadásul a sűrűségfüggény speciális, mátrix exponenciális, alakja miatt ugyanazok a hatékony analitikus eszközök használhatók a modellek elemzéséhez. Az egyetlen probléma az, hogy egy illesztő algoritmus eredményéről nehéz eldönteni, hogy az valódi eloszlást határoz-e meg. Az irodalomban [2], [3] még három dimenzióban sincs minden esetben megválaszolva ez a kérdés.

A dolgozatban részletes bemutatásra kerül egy olyan saját megközelítés, mely segítségével egységesen kezelhetővé válik az összes különböző eset a harmadrendű ME eloszlások körében. A sűrűségfüggvény nem negativitásának ellenőrzéséhez különböző, alacsonyabb dimenziós egyenlőtlenségek megoldása szükséges. Ezek analitikusan megoldhatók, ezért minden esetben explicit szükséges és elégséges feltételeket nyerünk arra vonatkozóan, hogy egy adott vektor, mátrix pár egy valódi ME(3) eloszlást határoz-e meg. Részletes tárgyalásra kerülnek azok az esetek, amelyekre eddig csak numerikus eljárások voltak ismertek. Készült egy Mathematica implementáció is, mely a levezetett tételek alapján egyértelműen eldönti az ME(3) eloszlás családba való tartozást. Továbbá a dolgozat kitekintést is nyújt a magasabb fokszámú ME eloszlásokra és rámutat a módszer korlátaira.

szerző

• 
  Kolossváry István
  alkalmazott matematikus
  nappali

konzulens

• 
  Dr. Telek Miklós
  egyetemi tanár, Híradástechnikai Tanszék

helyezés