Véges általánosított Minkowski-elrendezések
Véges általánosított Minkowski-elrendezések
Kadlicskó Máté V. évf.
Konzulens: Lángi Zsolt, Geometria tanszék
Minkowski egy híres rácsgeometriai tétele olyan origóra szimmetrikus konvex testek térfogatára ad felső becslést, amik az n-dimenziós euklideszi tér egy rögzített rácsának pontjai közül csak az origót tartalmazzák. Ez a tétel motiválta Fejes Tóth Lászlót a [3] cikkben arra, hogy definiálja a Minkowski-elrendezések fogalmát, ami alatt egy K konvex, centrálszimmetrikus nyílt halmaz homotetikusainak olyan családját értjük, aminek egyik eleme sem tartalmazza tőle különböző elem középpontját. A fenti cikk éles felső becslést ad körlemezek Minkowski-elrendezésének sűrűségére bizonyos alapvető regularitási feltételek mellett. Fejes Tóth László a [4] cikkben foglalkozik a sík véges Minkowski-elrendezéseinek sűrűségével, illetve ekvivalens feltételt ad véges Minkowski-elrendezés sűrűségének a maximalitására. Fejes Tóth egy sejtését megválaszolva, az [1] cikkben Böröczky és Szabó általánosította a [3] cikkbeli eredményt olyan elrendezésekre, ahol egyik elem sem metsz bele tőle különböző elem magjába, azaz a középpontjára vonatkozó, µ-arányú homotetikus képének belsejébe. Egy ilyen elrendezést µ-paraméterű Minkowski-elrendezésnek hívunk. Ezek sűrűségét Böröczky és Szabó a [2] cikkben is vizsgálta. Azóta a Minkowski elrendezések vizsgálata több más diszkrét geometriai kérdéskörben is megjelent a szakirodalomban.
A mi eredményünk a síkbeli véges µ-paraméterű Minkowski elrendezések maximális sűrűségét adja meg, illetve ekvivalens feltételt is adunk egy véges µ-paraméterű Minkowski elrendezés sűrűségének maximalitására. Ez új bizonyítást ad Böröczky és Szabó [1] cikkében szereplő, végtelen µ-paraméterű Minkowski-elrendezések maximális sűrűségére is. Ezen felül konvex centrálszimmetrikus síkidom eltoltjaiból álló µ-paraméterű Minkowski-elrendezés sűrűségére is adunk felső becslést.
Irodalom:
1. K. Böröczky and L. Szabó: Minkowski arrangements of circles in the plane, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 70 (2002), 87-92.
2. K. Böröczky and L. Szabó: Minkowski arrangements of spheres, Monatsh. Math. 141 (2004), 11-19.
3. L. Fejes Tóth: Minkowskian distribution of disks, Proc. Amer. Math. Soc. 16 (1965), 999-1004.
4. L. Fejes Tóth: Minkowskian circle-aggregates, Math. Ann. 171 (1967), 97-103.
