Új eredmények lokális automorfizmusokról
New results on local automorphisms
Gyenti Bálint
Témavezető: Dr. Molnár Lajos, Analízis Tanszék
Operátorstruktúrák lokális leképezéseinek vizsgálata sokak által tanulmányozott, népszerű probléma immár három évtizede. A fogalom először Kadison, illetve Larson és Sourour munkáiban jelent meg 1990-ben lineáris transzformációkkal kapcsolatban. Nemlineáris leképezések esetére Šemrl következőképpen módosította a fogalmat egy 1997-es cikkében: legyen A és B tetszőleges struktúra, F pedig A-ból B-be képező függvények egy halmaza. Azt mondjuk, hogy egy φ:A→B függvény 2-lokálisan F-beli, ha minden x,yϵA-ra van olyan φ(x,y)ϵF, hogy φ(x)= (φ(x,y))(x) és φ(y)= (φ(x,y))(y). A vizsgált struktúrák általában operátoralgebrák, függvényalgebrák, gyűrűk, Lie-algebrák stb., F pedig legtöbbször a derivációk, automorfizmusok vagy izometriák halmaza. A vizsgálat célja annak eldöntése, hogy a tekintett esetben minden 2-lokálisan F-beli függvény szükségképpen eleme-e F-nek. Ezen vizsgálatokat megindító mára klasszikus eredményként említjük Šemrl tételét, ami azt mondja, hogy szeparábilis Hilbert-tér feletti teljes operátoralgebra minden 2-lokális automorfizmusa automorfizmus.
A nagyszámú pozitív eredmény láttán joggal vetődhet fel a kérdés, hogy Šemrl feltételét nem lehet-e valamilyen módon gyengíteni úgy, hogy az elért eredmények továbbra is lényegében érvényben maradjanak. A közelmúltban történt kísérletek közül kiemeljük a témavezetőét, aki egy 2019-es cikkében a következőt bizonyította: ha A egy szeparábilis komplex Hilbert-tér korlátos operátorainak teljes C*-algebrája és φ:A→A tetszőleges függvény amire teljesül, hogy minden a,bϵA-ra van olyan φ(a,b)*-automorfizmusa A-nak, hogy φ(a)φ(b)=(φ(a,b))(ab), akkor φ vagy egy *-automorfizmus, vagy egy *-automorfizmus -1 -szerese, tehát a feltételben szereplő két egyenletet összeszorozva lényegében még mindig megkapjuk a korábbi eredményt! (Hasonló állítás igaz az egyenletek összeadására vonatkozóan is.)
Dolgozatunkban röviden áttekintjük a lokális leképezések vizsgálatának történetét, fontosabb és érdekesebb eredményeit. A dolgozat érdemi részében saját eredményeinket tárgyaljuk a [2] cikk bemutatásával. A kvantummechanika matematikai leírásában szereplő Hilbert-tér operátorok algebrájának számos részstruktúrája (a projekciók hálója, önadjungált operátorok, sűrűségoperátorok, effektek összességei, és ezeken különböző műveletek) konkrét fizikai jelentést kap. Ezek 2-lokális automorfizmusait vizsgálta korábbi cikkeiben többek között Molnár illetve Barczy és Tóth, az ő eredményeiket javítjuk meg a témavezető fenti tételének mintájára. Megjegyezzük, hogy jóval gyengébb feltételekkel dolgozunk, így bizonyításaink az előzőekétől jelentősen különböznek. Hasonló eredményt kapunk a szimmetrikus csoportok automorfizmusaira vonatkozóan is, amiből speciálisan következik, hogy egy legalább hatelemű megszámlálható halmazon ható szimmetrikus csoport minden 2-lokális automorfizmusa automorfizmus. Megjegyezzük, hogy tudomásunk szerint a problémakört pusztán csoportelméleti kontextusban még nem tanulmányozták.
[1] Barczy M., Tóth M. Local automorphisms of the sets of states and effects on a Hilbert space, Rep. Math. Phys. 45 (2001), 289-298.
[2] Gyenti B., Molnár L. On local automorphisms of some quantum mechanical structures of Hilbert space operators, New York J. Math., to appear.
[3] Molnár L. Local automorphisms of some quantum mechanical structures, Lett. Math. Phys. 58 (2001), 91-100.
szerző
-
Gyenti Bálint
Matematikus mesterképzési szak (MSc)
mesterképzés (MA/MSc)
konzulens
-
Dr. Molnár Lajos
egyetemi tanár, Analízis Tanszék
