Különböző részösszegű aszimptotikus bázisok
Egy természetes számokból álló halmazt k-ad rendű aszimptotikus bázisnak nevezünk, ha minden elég nagy természetes szám előáll a halmaz tagjaiból képzett k-tagú összegként. Egy természetes számokból álló halmazt általánosított g-Sidon-halmaznak nevezünk, ha minden természetes szám legfeljebb g féleképpen áll elő h nem feltétlenül különböző tagú összegként a halmazból. Az elmúlt néhány évtizedben többen vizsgálták olyan aszimptotikus bázisok létezését, amelyek általánosított g-Sidon-halmazok. Erdős és Turán egyik jól ismert sejtése [1] szerint nem létezik olyan másodrendű aszimptotikus bázis, ami általánosított 2-Sidon-halmaz. Erdős, Sárközy és T. Sós vizsgálták azt a kérdést [2], [3], hogy van-e olyan harmadrendű aszimptotikus bázis, ami Sidon-halmaz. G.Grekos, L. Haddad, C.Helou and J.Pihko [4] cikkükben megmutatták, hogy másodrendű aszimptotikus bázis nem lehet Sidon-halmaz. Később Deshouillers és Plagne konstruáltak hetedrendű aszimptotikus bázist, ami Sidon-halmaz [5], majd Kiss igazolta a létezését [6] ötödrendű aszimptotikus Sidon-bázisnak. A negyedrendű esetet később egymástól függetlenül Kiss,Rozgonyi és Sándor [6], valamint Cilleruelo [7] intézte el. Cilleruelo olyan harmadrendű aszimptotikus bázis létezését is igazolta, amely általánosított kéttagú 2-Sidon sorozat. Erdős tanulmányozta [9] azt a kérdést, hogy legfeljebb hány számot lehet kiválasztani egy természetes számokból álló m elemű halmazból úgy, hogy az összes részösszeg különböző legyen. Nemsokkal később, 1985-ben,
Erdős Pál tette fel azt a kérdést [10], hogy van-e olyan k-ad rendű aszimptotikus bázis, melynek elemeiből képzett legalább egy, de legfeljebb k-1 tagú összegek mind különbözők. Olyan 2k+3-ad rendű aszimptotikus bázis létezését igazoljuk, amelynek elemeiből képzett legalább egy, de legfeljebb k-tagú összegek mind különbözők. A bizonyítás a valószínűségi módszer alkalmazásán alapul.
Irodalomjegyzék
[1] P. Erdős, P. Turán. On a problem of Sidon in additive number theory and some related problems, J. London Math. Soc., 16, (1941) 212-215.
[2] P. Erdős, A. Sárközy, V. T. Sós. On additive properties of general sequences, Discrete Mathematics, 136, (1994) 75-99.
[3] P. Erdős, A. Sárközy, V. T. Sós. On sum sets of Sidon sets I., Journal of Number Theory, 47, (1994) 329-347.
[4] G. Grekos, L. Haddad, C. Helou, J. Pihko. Representation functions, Sidon sets and bases, Acta Arithmetica, 130, (2007) 149-156.
[5] J. M. Deshouillers, A. Plagne. A Sidon basis, Acta Mathematica Hungarica, 123, (2009) 233-238.
[6] S. Z. Kiss. On Sidon sets which are asymptotic bases, Acta Mathematica Hungarica, 128, (2010) 46-58.
[7] S. Z. Kiss, E. Rozgonyi, Cs. Sándor. On Sidon sets which are asymptotic bases of order 4, Functiones et Approximatio Comm. Math., 51, (2014) 393-413.
[8] J. Cilleruelo. On Sidon sets and asymptotic bases, Proc. Lond. Math. Soc., 111, (2015) 1206-1230.
[9] P. Erdős, J. Spencer. Probabilistic Methods in Combinatorics, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1974.
[10] P. Erd®s. Some applications of probability methods to number theory, Mathematical statistics and applications, Vol. B (Bad Tatzmannsdord, 1983), (1985) 1-18.
