Konforminvariáns-e a síkbeli "Kinetikus Bolyongás"?

Bakytzhan Akhmetov

Konzulens: Pete Gábor, Sztochasztika Tanszék

A kinetikus bolyongás (Kinetic Random Walk: KRW) az egyik legegyszerűbb modellje az önelkerülő bolyongásoknak végtelen vagy véges gráfokon. A bolyongás mindig egyenletesen lép egy korábban még nem látogatott szomszédra, és mikor nincs ilyen szomszédja, a folyamatot megöljük. Az analízis során csak olyan sétákat vizsgálunk, amelyek egy bizonyos küszöb számnál nagyobb lépésszámot éltek már túl, vagyis a túlélésre kondicionáljuk a folyamatot.

Egy hasonló modell végtelen gráfokon az okos kinetikus bolyongás (Smart Kinetic Random Walk: SKRW), amelynél ismét korábban nem látogatott szomszédok közül választunk egyenletesen, viszont csak azon szomszédokat vesszük figyelembe, amelyekből a bolyongás végtelenségig folytatható. Véges gráf esetén adott egy fix cél csúcs, és a bolyongás egyenletesen választ olyan szomszédok közül, mellyekből a cél csúcs még mindig elérhető önmetszés nélkül.

Talán a legkanonikusabb modell az úgynevezett önelkerülő séta (Self-Avoiding Walk: SAW), ahol egyenletesen választunk rögzített hosszú önmetszés mentes utak közül. Ez valamilyen értelemben a kinetikus bolyongásnál egy jóval bonyolultabb modellnek tűnhet, mivel teljes utakat kell vennünk ahelyett, hogy lokálisan haladnánk lépésről-lépésre.

Síkrácsokon, régi fizikus irodalombeli heurisztikák és szimulációk alapján, a Kinetikus Bolyongás fraktál-dimenziója 3/2. (Földhözragadtabban, n a 3/2-edik hatványon lépés szükséges, hogy n távolságra jussunk). Ez különbözik a SKRW esetétől, ahol ez a kitevő 7/4, és a SAW-tól is, ahol ez a kitevő 4/3.

A (részlegesen bizonyított) sejtés szerint az SKRW és a SAW trajektóriáknak konform-invariáns skála-limesze van, melyet az ünnepelt Schramm-Loewner Evolution (SLE) különböző esetei írnak le: SLE(6) az SKRW és SLE(8/3) a SAW esetén.

A projekt első célja számítógépes szimulációkkal vizsgálni, hogy a KRW is rendelkezik-e konform-invariáns skála-limesszel. Ha igen, akkor elérkezünk a kérdéshez (szintén szimulációkkal vizsgálandó), hogy vajon a skála-limesz az SLE(4) e, mely az egyetlen véletlen folytonos önelkerülő görbe a síkon, mely konformis Markov tulajdonságú és a dimenziója 3/2.

Egy másik cél, hogy minél több matematikai értelmet adjunk a fizikusok heurisztikáinak a dimenzióról, és megvizsgáljuk, kiterjeszthetőek-e ezek az SLE(4) határértékre is.

Irodalom:

1. Tom Kennedy. „The Smart Kinetic Self-Avoiding Walk and Schramm Loewner Evolution”, J Stat Phys 160, 302–320 (2015).

2. Imtiaz Majid, Naeem Jan, Antonio Coniglio, and H. Eugene Stanley, „Kinetic Growth Walk: A New Model for Linear Polymers”, Physical Review Letters. 52 , 1257-1260 (1984).

3. Oded Schramm and Scott Sheffield, „The harmonic explorer and its convergence to SLE(4)”, The Annals of Probability, Vol. 33, No. 6, 2127-2148 (2005).

4. Wendelin Werner, „Random planar curves and Schramm-Loewner evolutions”, 2002 Saint-Flour Summer School, Lect. Notes in Math. 1840, Springer, 107–195 (2004).

szerző

Akhmetov Bakytzhan
Alkalmazott matematikus mesterképzési szak (MSc)
mesterképzés (MA/MSc)

konzulens

Dr. Pete Gábor
docens, Sztochasztika Tanszék