Erősen standardul rétegezett algebrák finitisztikus dimenziója
A véges dimenziós algebrák reprezentációelméletében fontos invariánsok a homologikus dimenziók, mint például a globális és a finitisztikus dimenzió. Legyen A egy véges dimenziós k-algebra, Mod-A, ill. mod-A az A feletti jobb modulusok, ill. végesen generált jobb modulusok kategóriája. Ekkor a gldim A = sup{projdim M | M ∈ Mod-A} számot nevezzük az A algebra globális dimenziójának. Ez könnyen kiszámolható, elég hozzá csak az egyszerű jobb A-modulusok projektív dimenzióját meghatározni. A globális dimenzió viszont gyakran végtelen. Ilyenkor pontosabb mérőszámot ad a moduluskategória homologikus komplexitására az algebra finitisztikus dimenziója, azaz findim A = sup{projdim M | M ∈ mod-A, projdim M < ∞}. Ennek meghatározása már roppant nehéz feladat. Több mint 50 éve megoldatlan az a sejtés, hogy minden Artin-algebra finitisztikus dimenziója véges.
A sejtést eddig csak speciális algebraosztályokra igazolták. [1]-ből látható, hogy például a standardul rétegezett algebrák (jobb és bal) finitisztikus dimenziójának a felső korlátja 2n-2, ahol n az algebra feletti egyszerű jobb modulusok száma (izomorfiától eltekintve). Ha egy A algebra (páronként nem izomorf) egyszerű modulusainak rögzítjük egy S(1),...,S(n) rendezését, akkor a Δ(i) standard modulus az a maximális faktormodulusa P(i)-nek (S(i) projektív fedőjének), amely nem tartalmaz kompozíciófaktorként S(j)-t, ahol j > i (ld. [3]). Az A algebra standardul rétegezett, ha az A_A jobb reguláris modulusnak van olyan 0 = M_0 ≤ M_1 ≤ … ≤ M_n = A_A moduluslánca, amelyben minden faktor valamely standard modulussal izomorf. Egy standardul rétegezett algebra globális dimenziója pontosan akkor véges, ha az algebra kváziöröklődő is, azaz End(Δ(i)) egyszerű minden i-re. A standardul rétegezett algebrák finitisztikus dimenziójára adott korlát azért is volt természetes (és éles), mert egybeesik a kváziöröklődő algebrák globális dimenziójára adott korábbi éles korláttal.
Az utóbbi évtizedben számos publikáció foglalkozott az úgynevezett erősen kváziöröklődő algebrákkal, azaz amelyekre projdim Δ(i) ≤ 1. Többek között bebizonyították, hogy a globális dimenzió legfeljebb n (ld. [2]). Dolgozatunkban belátjuk, hogy ha A erősen standardul rétegezett, vagyis ha A standardul rétegezett, és projdim Δ(i) ≤ 1 minden i-re, akkor ugyanez a korlát fennáll az A mindkét oldali finitisztikus dimenziójára.
[1] I. Ágoston, V. Dlab, E. Lukács, and L. Unger, "Finitistic Dimension of Standardly Stratified Algebras", Comm. Algebra 28 (2000) 2745-2752.
[2] C. M. Ringel, "Ilyama's finiteness theorem via strongly quasi-hereditary algebras", Journal of Pure and Applied Algebra 214 (2010) 1687-1692.
[3] V. Dlab, C. M. Ringel, "The Module Theoretical Approach to Quasi-Hereditary Algebras", Representations of Algebras and Related topics, London Math. Soc. Lecture Note Series, 168 (1992), 200-224.
szerző
-
Szabó Csaba
Matematika alapszak (BSc)
alapképzés (BA/BSc)
konzulens
-
Lukács Erzsébet
egyetemi docens, Algebra Tanszék
