Általános irányú Pauli csatorna tomográfiája
Általános irányú Pauli csatorna tomográfiája
Virosztek Dániel, matematikus MSc II. évf.
Konzulensek: Dr. Hangos Katalin, MTA SZTAKI Folyamatirányítási Kutatócsoport és
Ruppert László, BME Analízis Tanszék
A kvantum jelenségek pontos leírása olyan matematikai feladat, amely gyakorlati jelentőséggel is bír: modern technológiák széles körében alkalmazandóak kvantum jelenségek, az alkalmazás pedig megköveteli ezek pontos ismeretét.
Többféle fizikai jelenség leírására is alkalmas fogalom a kvantum csatorna, amely a rendszer állapotterén ható nyomtartó, teljesen pozitív leképezés. A kvantum csatornák egy tág osztályát alkotják a Pauli csatornák. Az n-szintű rendszerre definiált Pauli csatornák [1] szoros kapcsolatban állnak bizonyos lináris tereken ható kontrakciókkal.
A Pauli csatornák tomográfiájának bőséges irodalma van, azonban a téma nehézsége miatt a dolgozatok általában speciális esetekkel foglalkoznak. A direkt tomográfiás eljárások legfontosabb jellemzője, hogy az ismert input állapotok és a mérések által becsült output állapotok (az output állapot az input állapot csatorna általi képe) összehasonlítása adja a csatornára vonatkozó információt. A kvantummechanikában a mérés nem determinisztikus, így az eljárás a csatorna paramétereinek egy becslését adja.
Ebben a dolgozatban a kétszintű (kvantum bit) rendszerre koncentrálva ismertetjük az ismeretlen irányú Pauli csatornát becslő direkt tomográfiás eljárások egy családját. A csatornabecslés hatékonyságát három mennyiséggel mérjük: a csatorna kontrakcióparamétereinek, szögparamétereinek illetve csatornamátrixának (Hilbert-Schmidt normában mért) átlagos négyzetes hibájával.
Az optimális csatornabecslési eljárás megtalálása és az optimalitás bizonyítása különböző célfüggvények esetén különböző matematikai módszereket igényel. Analitikus eszközökkel bizonyítjuk, hogy a csatornamátrix becslésének bizonytalansága alulról becsülhető a csatornaparaméterek egy kezelhető függvényével, s a minimum felvétetik. A másik két célfüggvény esetében különböző becslések linearizálása szükséges, s az így kapott becslésekről mondunk ki és bizonyítunk tételeket. A becslési eljárás jellegéből fakad, hogy a paraméterbecslések a megfelelő bázispontú Taylor-polinomjukkal jól közelíthetők, ezzel együtt az analitikus eredményeket Monte-Carlo szimulációval ellenőrizzük.
Az egyik bizonyítás külön érdekessége, hogy ismert irányú Pauli csatornákra vonatkozó eredmények [2] egy újszerű (Fisher-információ maximalizálása helyett a varianciát minimalizáló) igazolásához is vezet.
Adódik a kérdés, hogy a kvantum bit rendszerrel kapcsolatos fogalmak és technikák miként általánosíthatók. Első lépésként definiáljuk az általános irányú Pauli csatornát véges dimenziós kvantum rendszerre és vizsgáljuk az ismertetett csatornabecslési eljárás kiterjesztésének lehetőségeit n-szintű rendszerre.
Irodalom:
1. D. Petz and H. Ohno. Generalizations of Pauli channels. Acta Math. Hungar., 124:165–177, 2009.
2. L. Ruppert, D. Virosztek, and K. M. Hangos. Optimal parameter estimation of Pauli channels. J. Phys. A: Math. Theor., 45:265305, 2012.
szerző
-
Virosztek Dániel
matematikus
nappali
konzulensek
-
Dr. Hangos Katalin
tudományos tanácsadó, Atomfizika Tanszék -
Ruppert László
, (külső)
