Ekvidisztáns felületek és Dirichlet-Voronoi cellák S^2×R és H^2×R geometriákban
A nyolc homogén maximális Riemann geometriák közül tekintsük az S2×R és H2×R tereket. Ezek a szférikus sík és a hiperbolikus sík, valamint a valós számegyenes direkt szorzataként állnak elő. A két geometria vizsgálatához a jól ismert – a dolgozatban bemutatásra kerülő – projektív gömbmodellt használom. Az irodalomban megjelölt első kettő cikk alapján definiálom a szükséges fogalmakat: távolság, geodetikus, geodetikus gömb.
A dolgozat célja az állandó görbületű geometriákban már ismert tércsoportok és hozzá tartozó alaptartományok vizsgálata e két geometriában. Mindezek motivációja, hogy az euklideszi térhez hasonlóan a nem-euklideszi kristálycsoportok illetve ezek alaptartományainak vizsgálata fontos anyagszerkezeti kérdéseket oldhat meg. Ehhez az adott tércsoporthoz tartozó alaptartományokat célszerű megismerni. Az alaptartományok egy speciális osztályát, a Dirichlet-Voronoi cellákat definiálom ezen terekben. S2×R térben bevezetem a tetszőleges két ponthoz tartozó ekvidisztáns felület fogalmát az euklideszi biszektor (felező merőleges sík) analógiájára.
A modellben megadható az ekvidisztáns felületek implicit egyenlete. Tárgyalom a számolás során felmerülő inverz problémát, mely abból adódik, hogy a geodetikus görbék paraméteres egyenletrendszerét egy pontból indítva ismerjük. Emiatt egy tetszőleges modell pontba vezető geodetikus paramétereinek meghatározásához meg kell oldani egy nem algebrai egyenletrendszert. Ismertetem a probléma megoldását, majd általánosítom két tetszőleges pontra, mivel ez szükséges az ekvidisztáns felület egyenletének meghatározásához. Itt felhasználjuk a tér izometriáit, melyeket a modell bevezetésénél ismeretetek. A megkapott egyenletet tovább egyszerűsítem a modell tulajdonságainak segítségével.
Ezt követően kerül sor a H2×R geometria ide vonatkozó számolásaira és eredményeire, mely a modellbeli különbségek ismertetése után teljes összhangba kerül az S2×R-ben látottakkal.
Az ekvidisztáns felületek egyenletének segítségével mindkét térben láthatóvá válnak a Dirichlet-Voronoi cellák adott tércsoporthoz tartozóan. A dolgozatot szemléletessé tevő ábrák – geodetikus, gömb, ekvidisztáns felület, Dirichlet-Voronoi cella, adott tércsoporthoz tartozó lokálisan optimális gömbkitöltés – Wolfram Mathematica szoftverrel készültek, a vizualizáláshoz használt módszereket is prezentálom és mellékelem.
Irodalom:
-------------
1. E. Molnár, „The projective interpretation of the eight 3-dimensional homogeneous geometries”, Beiträge zur Algebra und Geometrie (Contributions to Algebra and Geometry) Vol. 38, No. 2, 261-288 (1997)
2. J. Szirmai, „Geodesic ball packings in S2×R space for generalized Coxeter space groups”, Beiträge zur Algebra und Geometrie (Contributions to Algebra and Geometry) Vol. 52, No. 2, 413 – 430 (2011)
3. J. Pallagi - B. Schultz - J. Szirmai, „Visualization of geodesic curves, spheres and equidistant surfaces in S2×R space”, KoG (Scientific and professional journal of Croatian Society for Geometry and Graphics) 14, 35-40 (2010)
szerző
-
Pallagi János
matematikus
nappali
konzulens
-
Dr. Szirmai Jenő
egyetemi docens, Geometria Tanszék