Inverz feladatok gráfokon
Inverz feladatok gráfokon
Homoki Tibor, Alkalmazott Matematikus MSc 1.évf.
Konzulens: Dr. Horváth Miklós, Analízis Tanszék
Az inverz spektrálelmélet a lineáris differenciáloperátorok egy klasszikus, de ma is aktívan kutatott területe. A deriválás, integrálás fogalmainak átfogalmazása gráfokra jól ismert, ezért adódott a lehetőség, hogy megvizsgáljuk a folytonos elmélet diszkrét, súlyozott gráfokra átírt változatát. A TDK dolgozatban ilyen kérdésekkel foglalkozunk.
Első új eredményünk, azaz a diszkrét Ambarzumian tétel azt mondja, hogy ha a gráf Laplace operátorát egy potenciállal kibővítjük, az így kapott diszkrét Schrödinger operátorról eldönthető a Neumann-peremfeltétellel kapott sajátértékei alapján, hogy nulla-e a potenciálfüggvény. Ilyen folytonos eredmény csak a legfeljebb 3 dimenziós esetben ismert, míg az itt bizonyított diszkrét eset nagyobb dimenziós folytonos feladat diszkretizációjából is származhat. Megvizsgáljuk az ezzel kapcsolatos stabilitási kérdést is: olyan állításokat igazolunk, hogy ha a sajátértékek közel vannak a nulla potenciál sajátértékeihez, akkor a potenciál közelítőleg nulla. Az analóg stabilitási tétel a folytonos operátorokra nem ismert. Megjegyezzük, hogy a bizonyításban kihasználjuk az első Neumann-sajátérték extremális tulajdonságát, ezért az már nem igaz, hogy ha két tetszőleges potenciál sajátértékei egymáshoz közel vannak, akkor a két potenciál eltérése is kicsi.
A TDK dolgozat másik része olyan eredményeket tárgyal, hogy az egyváltozós Schrödinger operátor a sajátértékek milyen halmazából rekonstruálható. Itt is sok klasszikus eredmény diszkrét változatát sikerült megmutatni, többek között a Weyl-Titchmarsh féle m-függvény diszkrét változatának bevezetése bizonyult hatékonynak. Az utolsónak tárgyalt részben a Sturm-Liouville operátorok elméletében alapvető operátor-transzformációs módszer diszkrét változatát alkottuk meg, mellyel a folytonos eset mintájára több érdekes unicitási tételt igazoltunk.
szerző
-
Homoki Tibor
alkalmazott matematikus
nappali
konzulens
-
Dr. Horváth Miklós
Egyetemi tanár, Analízis Tanszék
