Normagráfok Galois-gyűrűk felett
Normagráfok Galois-gyűrűk felett
Vincze Erika MSc. II. évf.
Konzulens: Dr. Rónyai Lajos, Algebra Tanszék
A Galois-gyűrűk a véges testek érdekes általánosításai:
A modulo m egészek ℤm gyűrűjéből kaphatók egyszerű algebrai bővítéssel, ahol m>1 prímhatvány. Prím m esetében éppen a véges testek adódnak.
Az általános Galois-gyűrűk szerkezete bonyolultabb a véges testekénél, például nem triviális nilpotens elemeik is vannak.
Az utóbbi időben több érdekes, a véges testekre alapozott, diszkrét matematikai konstrukciót sikerült Galois-gyűrűkre támaszkodva általánosítani. Például a hibajavító kódok területén több ilyen konstrukció látott napvilágot.
A jelen munka célja is egy ilyen általánosítás megfogalmazása és vizsgálata.
Alon, Rónyai és Szabó[1] véges testek felett definiálták a projektív normagráfokat, amelyek több gráfelméleti extremális probléma kapcsán bizonyultak hasznosnak. Ezt a konstrukciót általánosítjuk oly módon, hogy az eredetiben szereplő véges testbővítés helyett egy Galois-gyűrű Galois-bővítését, és a megfelelő normaleképezést használjuk.
Szabó[1] eredményét általánosítva megmutatjuk, hogy ezen gráfok M adjacenciamátrixának spektruma kifejezhető (általánosított) Gauss-összegek segítségével. Itt természetesen Galois-gyűrűk feletti Gauss-összegek lépnek fel.
Ezekről a tudomány mai állása szerint jóval kevesebb ismert, mint a véges testek feletti klasszikus Gauss-összegekről. Ennek megfelelően részeredményeket tudunk bizonyítani M sajátértékeinek nagyságáról.
Itt elsősorban a legkisebbnek tekinthető új esettel foglalkozunk, amikor az alapgyűrű ℤ4.
Irodalom:
1. Szabó Tibor, „On the spectrum of projective norm-graphs”, Information Processing Letters, 86 no. 2. (2003) 71-74..
2. Zhe-Xian Wan, “Lectures on Finite Fields and Galois Rings”, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., (2003) 297-333
3. Yunchang Oh and Heung-Joon Oh, „Gauss Sums over Galois Rongs of Characteristic 4”, Kangweon-Kyungki Math. Jour. 9 (2001), No. 1, pp. 1–7.
4. Philippe Langevin and Patrick Solé, „Gauss Sums over Quasi-Frobenius Rings”, Fq5, pp 329--341 (2001)
5. N. Alon, L. Rónyai, Szabó T., „Norm-graphs: Variations and Applications", \Journal of Combinatorial Theory, (Series B), 76 (1999), 280-290.
6. Rudolf Lidl and Harald Niederreiter, „Introduction to finite fields and their applications", Cambridge University Press, (1988)
szerző
-
Vincze Erika
matematikus
nappali
konzulens
-
Rónyai Lajos
, (külső)
