A k-adik leghosszabb rekord határeloszlása véletlen bolyongásokban
A véletlen bolyongások számtalan területen alkalmazhatók különféle folyamatok modellezésére, mint például a természettudományok vagy a pénzügyek. Az utóbbi években egyre több kutatás foglalkozott a rekordok vizsgálatával, statisztikai jellemzésével. (A k-adik lépésben rekord esemény történik, ha a bolyongás értéke k-ban meghaladja a bolyongás által összes előzőleg felvett értéket.) Ezeknek különösen nagy jelentősége van a statisztikus fizika területén.
A fent említett kutatások szimmetrikus és aszimmetrikus bolyongások esetén keresik a választ a következő kérdésekre: Hány rekord esemény történik n lépés alatt? Mennyi ideig áll fenn egy rekord? Mekkora a leghosszabb rekord élettartama?
A dolgozatomban véletlen bolyongások rekord statisztikáit vizsgálom n lépés után tetszőleges szimmetrikus és folytonos lépéseloszlással. A rekordok élettartamát tekintem; azt az időt, ameddig egy rekord fennáll. Ez egy független azonos eloszlású valószínűségi változó sorozatot határoz meg: τ_1, τ_2, τ_3, ... . Az utolsó rekord élettartama az n-edik lépéskor még ismeretlen, A_n-nel jelölöm az éppen aktuális élettartamát. A számítások során A_n-t tekintem az utolsó rekord releváns élettartamának.
Szimmetrikus véletlen bolyongás esetén leghosszabb ideig fennálló rekord statisztikáit vizsgálták [1]-ben: mekkora valószínűséggel dől meg a rekord az n-edik lépésben, mennyi ideig áll fenn ez a rekord. Én ezeket az eredményeket terjesztem ki a k-adik leghosszabb élettartamú rekordra.
A k-adik leghosszabb rekordot vizsgálom (k=2, 3, … ), azaz a k-adik leghosszabb elemet a τ_1, τ_2, τ_3, … valószínűségi változók közül, és különféle statisztikákkal jellemzem. Meghatározom annak a valószínűségét, hogy a k-adik leghosszabb rekord éppen n lépés után dől meg, és kiszámítom ennek a mennyiségnek az aszimptotikus viselkedését nagy n-re. Ezenkívül meghatározom az eloszlásfüggvényét a k-adik leghosszabb rekordnak.
Irodalom:
[1] C. Godréche, S. N. Majumdar, G. Schehr, „Universal statistics of longest lasting records of random walks and Lévy flights”, J. Phys. A: Math. Theor. 47, 255001 (2014)
[2] C. Godréche, S. N. Majumdar, G. Schehr, „The longest excursion of stochastic processes in nonequilibrium systems”, Phys. Rev. Lett. 102, 240602 (2009)
[3] R. García-García, A. Rosso, G. Schehr, „The longest excursion of fractional Brownian motion: numerical evidence of the non-Markovian effects” Phys. Rev. E 81, 010102(R) (2010)
szerző
-
Szabó Réka
alkalmazott matematikus
nappali
konzulens
-
Dr. Vető Bálint
egyetemi docens, Sztochasztika Tanszék
