A kvantummechanikai állapottér egy felbontása által indukált geometria
A statisztiában kulcsfontosságú Fisher-információ általánosítása a nemkommutatív esetre (egészen pontosan a kvantummechanikai állapottérre) Petz Dénes egyik kimagasló eredménye [3, 4], mely alapköve a nemkommutatív információgeometriának. A klasszikus esettel ellentétben, a nemkommutatív esetben nem egyértelmű a Fisher-információ, hanem azok bizonyos operátormonoton függvényekkel indexelhetők. Ezek a Fisher-információk Riemann-metrikának tekinthetők az állapottéren, ami magyarázza a monoton metrika elnevezésüket. Ezek a monoton metrikák a kvantuminformáció elmélet számtalan ágában kapnak kiemelkedő szerepet (például: paraméterbecslésben, határozatlansági relációkban, Bayes-statisztikában, állapottér és kvantumcsatornák geometriájának vizsgálatánál, állapotok összefondottsági mértékének meghatározásában stb.).
A qubit-qubit rendszerben az állapotok szeparálhatóságának, illetve összefonódottságának a vizsgálatánál Lovas Attila és Andai Attila megmutatták [2], hogy a $2n$ dimenziós Hilbert-tér feletti ${M}_{2n}$ állapotteret lehet és érdemes is felbontani a ${M}_{2n}\simeq\l{M}_{n}\times B_{n}\times\{E}_{n}$ módon, ahol
${M}_{n}$ az n dimenziós Hilbert-térhez tartozó állapottér, $B_{n}$ azon n × n-es mátrixok tere, melyek operátornormája egynél kisebb, valamint ${E}_{n}$ az
n × n-es mátrixok terében a $\left]-I,I\right[$ intervallumot jelöli.
A dolgozatban meghatározom, hogy a fenti felbontásban szereplő komponenseken milyen metrikát indukálnak az ${M}_{2n}$ téren értelmezett monoton metrikák, mely segít megérteni két ${M}_{n}$ térbeli részecskéből álló összetett rendszer állapotterének a geometriáját. Továbbá induktív módon kiterjesztem ezt az eljárást a $m{M}_{2^{k}n}$ állapottér egy felbontására, melyet Lovas Attila írt le PhD dolgozatában [1].
Hivatkozások
[1] Attila Lovas. „Application of information geometry to quantum mechanical
systems”. Dissz. BUTE, Applied Mathematics, 2017.
[2] Attila Lovas és Attila Andai. „Invariance of separability probability over redu-
ced states in 4 × 4 bipartite systems”. Journal of Physics A: Mathematical and
Theoretical 50.29 (2017), 295303. old. url: http://stacks.iop.org/1751-
8121/50/i=29/a=295303.
[3] D. Petz. „Monotone metrics on matrix spaces”. Linear Algebra Appl. 244 (1996),
81–96. old. issn: 0024-3795.
[4] D. Petz és Cs. Sudár. „Geometries of quantum states”. J. Math. Phys. 37.6
(1996), 2662–2673. old. doi: http://dx.doi.org/10.1063/1.531535. url:
http://scitation.aip.org/content/aip/journal/jmp/37/6/10.1063/1.
531535.
szerző
-
Szondi Máté Álmos
Építészmérnöki mesterképzési szak osztatlan
egységes, osztatlan képzés
konzulens
-
Dr. Andai Attila
Egyetemi docens, Analízis Tanszék
