Speciális struktúrák modellelméleti stabilitása
Speciális struktúrák modellelméleti stabilitása
Lukács Ferenc, III. évf.
Konzulens: Sági Gábor, Algebra Tanszék
A modellelmélet a matematikai logika egyik – jelenleg is igen gyorsan fejlődő – ága, mely a formulák (formalizált matematikai állítások) és a modellek (elsőrendű matematikai struktúrák) kapcsolatait vizsgálja. A modern modellelmélet egyik alapvető fogalma a stabilitás, mely elsősorban Morley, Shelah, Lascar, Pillay, Cherlin, Harrington és Hrushovski munkássága nyomán került a vizsgálatok középpontjába.
Egy T konzisztens elméletet akkor nevezünk stabilnak, ha létezik olyan κ végtelen számosság, melyre teljesül, hogy T minden modelljének minden legfeljebb κ számosságú részhalmaza felett legfeljebb κ különböző típus van.
Dolgozatunkban – Macpherson egy [2]-ben megjelent sejtése által motiválva – a stabilitás legerősebb formáját, a megszámlálható stabilitást bizonyítjuk mindenhol jelenlévő (angolul „absolutely ubiquitous”) struktúrákra.
Adott A elsőrendű struktúra esetén jelölje J(A) az A struktúra végesen generált részstruktúrái izomorfiatípusainak halmazát. Egy megszámlálható A struktúrát mindenütt jelenlevőnek hívunk, ha bármely B megszámlálható struktúra esetén J(A)=J(B)-ből a két struktúra izomorfiája következik.
A mindenütt jelenlévő struktúrák vizsgálatát Macpherson kezdeményezte [2]-ben. Könnyen adódik, hogy az ilyen struktúrák megszámlálhatóan kategorikusak, és [1] szerint, ha nyelvük nem tartalmaz függvényszimbólumokat, akkor megszámlálhatóan stabilak is. Jelenleg is nyitott kérdés, hogy ha egy mindenütt jelenlévő struktúra nyelvében vannak függvényszimbólumok, akkor stabil-e. Ezzel kapcsolatban a [3]-ban olvasható részeredményekre utalunk.
Jelen dolgozatban témavezetőm, Sági Gábor által [3]-ban megkezdett vizsgálatait folytatjuk; fő eredményünkben bizonyítjuk, hogy minden stabil, mindenütt jelenlévő struktúra egyúttal megszámlálhatóan stabil is.
Irodalom:
[1] A. A. Ivanov, Stable Absolutely Ubiquitous Structures, Proceedings of the Amer. Mat. Soc., Vol. 121, No. 1 221–224, (1994).
[2] H. D. Macpherson, Absolutely Ubqiquitous Structures and א₀-categorical groups, Quart. J. Math. Oxford (2), 39 pp. 483–500, (1988).
[3] G. Sági, Absolutely ubiquitous structures and א₀-stability, Bull. Sect. Logic Univ. Łódź 39 (2010), no. 1-2, 43-51.
[4] S. Shelah, Classification theory, North-Holland, Amsterdam (1990).
szerző
-
Lukács Ferenc
Matematika alapszak (BSc)
alapképzés (BA/BSc)
konzulens
-
Dr. Sági Gábor
Docens, Algebra Tanszék
