Fedések horo- és hiperszférákkal a 2- és 3-dimenziós hiperbolikus térben

Eper Miklós, III. évf.

Konzulens: Dr. Szirmai Jenő, Geometria Tanszék

A hiperbolikus terek vizsgálata egyik első megalkotója, Bolyai János személye miatt is klasszikus magyar témának számít és ebben a témakörben Fejes Tóth L. munkásságán és az általa alapított iskolán keresztül számtalan nagyon fontos eredmény született (a teljesség igénye nélkül itt csak Fejes Tóth Gábor, id és ifj Böröczky Károly, Heppes Aladár, Bezdek Károly, Molnár Emil nevét említjük). Érdekes és sok vonatkozásában ma is nyitott problémákat tartalmazó kérdés a hiperbolikus terekben a kongruens gömbök optimális sűrűségű kitöltéseinek és fedéseinek a vizsgálata. A téma aktualitását jelzi, hogy n-dimenzióban (n ≥ 3) még az sem tisztázott, hogy a legsűrűbb klasszikus gömbökkel történő gömbelhelyezés mikor valósul meg. Másik alapkérdés, hogy a „nem azonos típusú” horoszférakitöltések és fedések esetén adott dimenzióban milyen lesz az optimális gömbelrendezés (lásd [6]).

A hiperszférafedésekről még kevesebbet tudunk, itt szintén (n ≥ 3) esetén nyitott az optimális konfigurációk kérdése. A hiperbolikus síkon (n=2) Vermes I. [1] bizonyította, hogy a hiperszféra fedések sűrűségére vonatkozó alsó korlát (√12)/(π), de magasabb dimenzióban nincs hasonló eredmény a legkisebb sűrűségű fedésre. (Megjegyezzük, hogy a hiperbolikus síkon a legritkább fedés ugyanilyen sűrűséggel realizálódik, ha horoszférákat használunk.) A hiperbolikus térben (n=3) a témavezető [2] cikkében a klasszikus gömbökkel történő fedéshez ≈1.369-as sűrűségű konfigurációt ad meg. A témavezető [5] cikkében a 3-, 4- és 5-dimenziós Coxeter kövezésekhez határozza meg a legritkább hiperszféra fedéseket. Fejes Tóth L. [3] korszakos munkájában található ≈1.280-as sűrűségű horoszféra fedés leírása, amely a [6,3,3] parkettázáshoz kapcsolódódik.

Jelen dolgozatban az ú.n. hip-hor fedések témakörét vizsgáljuk, amely során az elhelyezések és fedések egyaránt tartalmazhatnak hiperszférákat és horoszférákat. Ezt a problémát a témavezető elhelyezésekkel kapcsolatban 2- és 3-dimenziós hiperbolikus terekben bizonyos Coxeter kövezések esetében megoldotta a [4] munkájában. Ebben a dolgozatban ugyanezekhez a Coxeter kövezésekhez kapcsolódóan vizsgáljuk a fedési kérdést. Konstrukciót adunk a 2- és 3-dimenziós hiperbolikus tér egyes hip-hor fedéseire a tér bizonyos Coxeter kövezéseihez kapcsolódóan, amelyek a végtelen csúccsal rendelkező, egyszeresen csonkolt orthoszkémek segítségével generálhatók. Meghatározzuk a legkisebb sűrűségű ilyen fedést, és ennek sűrűségét.

Python programozási nyelvet használva numerikus közelítésekkel megmutatjuk, hogy a hiperbolikus síkon (n=2) a fent említett hip-hor fedések sűrűsége tetszőlegesen megközelíti a hiperszféra vagy horoszféra fedésekre vonatkozó alsó korlátot, illetve a hiperbolikus térben (n=3) az optimális elrendezés a [7,3,6] Coxeter kövezéshez kapcsolódik, ≈1.273-as sűrűséggel, amely kisebb mint a Fejes Tóth L. és id. Böröczky K. által meghatározott eddig ismert legkisebb sűrűség. Továbbá vizsgáljuk a [p,3,6] (p szigorúan 6 és 7 közötti valós szám) Coxeter kövezéshez kapcsolódó lokálisan realizálódó hip-hor fedést, amely a minimumát a p paraméter ≈6.45962 értékére veszi fel, ≈ 1.26885-ös sűrűséggel, azonban ezen lokálisan optimális fedéshez tartozó parkettázás nem terjeszthető ki a teljes hiperbolikus térre.

Irodalom:

1. Vermes, I. Über regulare überdeckungen der Bolyai-Lobatschewskischen Ebene durch kongruente Hyperzykelbereiche, Period. Math. Hungar. (1981) 25/3, 249--261.

2. E. Molnár – J. Szirmai, Top dense hyperbolic ball packings and coverings for complete Coxeter orthoscheme groups, Publications de l'Institut Mathématique (2018) 103(117), 129--146.

3. Fejes Tóth, L. (1964) RegularFigures, Macmillian,New York

4. J. Szirmai, Packings with horo- and hyperballs generated by simple frustum orthoschemes, Acta Mathematica Hungarica (2017) 152(2), 365--382.

5. J. Szirmai, The least dense hyperball covering to the regular prism tilings in the hyperbolic n-space, Annali di Matematica Pura ed Applicata, 195, (2016) 235-248.

6. J. Szirmai, Horoball packings to the totally asymptotic regular simplex in the hyperbolic n-space, Aequationes mathematicae, 85 (2013), 471–482,

szerző

Eper Miklós
Matematika alapszak (BSc)
alapképzés (BA/BSc)

konzulens

Dr. Szirmai Jenő
egyetemi docens, Geometria Tanszék

helyezés

II. helyezett