Egy félcsoportelméleti konstrukció alkalmazásai
Egy félcsoportelméleti konstrukció alkalmazásai
Nagy Olivér, III. évf.
Konzulens: Dr. Nagy Attila, Algebra Tanszék
P.M. Cohn, a 20. századi algebra kiváló képviselője 1956-ban publikált [2] cikkében szükséges és elégséges feltételeket adott arra, hogy egy S félcsoportot be lehessen ágyazni egy bal egyszerű félcsoportba. A beágyazhatóság egy szükséges feltétele:
∀ a, b ∊ S: ∃ x ∊ S: xa=xb ⇒ ∀ s ∊ S: sa=sb, ⑴
azaz, tetszőleges S-beli a és b elemek esetén, ha xa=xb teljesül valamely S-beli x elemre, akkor az S félcsoport minden s elemére fennáll az sa=sb egyenlőség. Bizonyította azt is, hogy ez a feltétel nem csak szükséges, hanem elegendő is az idempotens elemet nem tartalmazó félcsoportoknak bal egyszerű félcsoportokba való beágyazhatósághoz. Pontosabban: egy S félcsoport akkor és csak akkor ágyazható be idempotens elem nélküli bal egyszerű félcsoportba, ha S-nek nincs idempotens eleme és S teljesíti a fenti ⑴ feltételt. 60 évig nyitott volt az a probléma, hogy hogyan állíthatók elő az ⑴ feltételt teljesítő félcsoportok. 2016-ban publikált [6] cikkében témavezetőm, Nagy Attila megadott egy konstrukciót, és megmutatta, hogy egy félcsoport akkor és csak akkor teljesíti a P.M. Cohn beágyazási tételében szereplő ⑴ feltételt (a [6]-beli terminológiát is használva: akkor és csak akkor bal kiegyenlítő-egyszerű), ha ezzel a konstrukcióval állítható elő.
TDK dolgozatom ennek a konstrukciónak az alkalmazásával kapcsolatos már publikált, illetve témavezetőmmel bizonyított új eredményeket dolgozza fel. A bevezetést, és az alapfogalmak, illetve alapkonstrukció ismertetését követő fejezetek az ⑴ feltételt teljesítő kötegekkel, illetve speciális permutációazonosságot teljesítő félcsoportokkal foglalkoznak. Megmutatjuk, hogy az ⑴ feltételt teljesítő kötegek (vagyis azok a félcsoportok, amelyeknek minden eleme idempotens) pontosan a derékszögű kötegek (azaz, az aba=a azonosságot teljesítő kötegek), továbbá azt, hogy hogyan lehet előállítani derékszögű kötegeket a fent említett konstrukció segítségével. Bizonyítjuk azt is, hogy egy B köteg akkor és csak akkor ágyazható be egy bal egyszerű félcsoportba, ha B egy bal zéró félcsoport (azaz teljesíti az ab=a azonosságot). Az utolsó fejezetben megmutatjuk, hogy a szóban forgó konstrukcióval hogyan lehet előállítani az ⑴ feltételnek eleget tevő, speciális permutációazonosságot teljesítő félcsoportokat.
Irodalom:
[1] A. H. Clifford and G. B. Preston, The Algebraic Theory of Semigroups I, II, Amer. Math. Soc. Providence R. I., 1961, 1967
[2] P.M. Cohn, Embeddings in semigroups with one-sided division, Journal of the London Mathematical Society, 31-2 (1956), 169-181
[3] J. M. Howie, An Introduction to Semigroup Theory, Academic Press, London, 1976
[4] A. Nagy, Special Classes of Semigroups, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London, 2001
[5] A. Nagy, Remarks on the paper "M. Kolibiar, On a construction of semigroups", Periodica Mathematica Hungarica, 71 (2015), 261-264
[6] A. Nagy, Left equalizer simple semigroups, Acta Mathematica Hungarica, 148-2 (2016), 300-311
[7] A. Nagy, Félcsoportok, Typotex Kiadó, Budapest, 2016
[8] A. Nagy, On a Cohn's Embedding Theorem, submitted
szerző
-
Nagy Olivér
Matematika alapszak (BSc)
alapképzés (BA/BSc)
konzulens
-
Dr. Nagy Attila
egyetemi docens, Algebra Tanszék