Hiperbolikus mozgás vizsgálata Lagrange-módszerekkel
Egyes fizikai elméletek megalapozásában a geometriai módszerek sokszor kiemelkedő szerepet játszottak. Az utóbbi időben bizonyossá vált, hogy a geometriai szemlélet a kvantum információelmélet területén is nagy jelentőséggel bír. Kiderült ugyanis, hogy ez a szemlélet lehetővé teszi azt, hogy kapcsolatot teremtsünk a kvantumos összefonódottság és a gravitáció jelenségei között. Ennek a dualitásnak az elsődleges példája az AdS/CFT megfelelés, amely szerint kapcsolat van az aszimptotikusan anti-de Sitter terek extremális hiperfelületei és a tér határán lévő konform térelméletek között [1]. A speciális AdS3/CFT2 esetben az extremális hiperfelületeknek geodetikusok felelnek meg. Ebben a kontextusban érdemes bevezetni a geodetikusok terét: az úgynevezett kinematikus teret [2]. Ezek alapján megfelelés van az AdS tér, a kinematikus tér, valamint a határ konform térelmélete között, mely megfelelés előnye, hogy bizonyos fizikai problémákat eltérő matematikai szemléletmóddal vizsgálhatunk.
Dolgozatomban ennek a megfelelésnek a geometriai oldalát vizsgálom klasszikus mechanikai módszerekkel. Hiperbolikus geometriában, amely a 2+1 dimenziós anti-de Sitter tér egy statikus szelete, a tér geodetikusaival foglalkozok. A dolgozat első felében a hiperboloid három különböző reprezentációját használom: a kétköpenyű hiperboloid felső levelét, a Poincaré-féle körmodellt, valamint a Poincaré felső félsíkot. Az AdS3 tér térszerű geodetikusait a hiperbolikus geometria ezen három modelljén vizsgálom Lagrange-formalizmus, valamint a megfelelő mozgás szimmetriáinak és megmaradó mennyiségeinek segítségével. Megmutatom milyen összefüggések állnak fenn a tér szimmetriái, megmaradó mennyiségei, valamint geodetikusai között. A dolgozat második felében rámutatok arra, hogy a megmaradó mennyiségek tere, az úgynevezett kinematikus tér egy egyköpenyű hiperboloid. Ennek minden pontja a kétköpenyű hiperboloid felső levelének egy geodetikusának felel meg. Ennek segítségével a kinematikus térben vizsgálom tovább a hiperboloid geodetikusait egy más szemléletmódban. Ez a szemléletmód lehetőséget ad arra, hogy a dolgozat első felében kapott eredményeket egyszerű, integrálgeometriai kifejezésekkel is megkapjam. Végezetül a kinematikus tér fogalmát felhasználva geodetikus sokszögek tulajdonságait vizsgálom Lagrange-formalizmus segítségével.
[1] J. M. Maldacena, The Large N Limit of Superconformal Field Theories and Supergravity, Internat. J. of Theor. Phys. 38.4 (1999).
[2] B. Czech, L. Lamprou, S. McCandlish, B. Mosk and J. Sully, Integral Geometry and Holography, JHEP 10 175 (2015).
szerző
-
Boldis Bercel
Fizika alapszak (BSc)
alapképzés (BA/BSc)
konzulens
-
Dr. Lévay Péter Pál
tudományos főmunkatárs, Elméleti Fizika Tanszék
