Véletlen bolyongás a Penrose-csempézésen
A Penrose-csempézés a sík legismertebb aperiodikus csempézése, azaz meghatározott sokszögekkel (jelen esetben kétféle rombusszal) való olyan egyrétű, hézagmentes lefedése, amelyet a sík semmilyen eltolása nem visz önmagába. A Penrose-csempézések struktúrájáról már sok ismeretünk van, és több lehetőség is létezik a konstrukciójukra. Ezen tulajdonságai miatt merült fel a vizsgálata a kvázikristályos közegben való diffúzió kutatásában. Szász Domokos vetette fel az idézett cikkében, hogy a Lorentz-gázmodellt (aperiodikus esetként) a Penrose-csempézést követő eloszlású billiárd-akadályokkal lenne érdemes vizsgálni. Azt sejtette, hogy a diffúzió skálalimesze egy Brown-mozgás lesz.
Ehhez szorosan kapcsolódó modell a Penrose-csempézés rombuszain haladó egyszerű véletlen bolyongás, amely a rombuszok középpontjai mint csúcsok, és a szomszédos rombuszok középpontjai által meghatározott élek gráfján történik. A sík Penrose-csempézéseinek halmazát a megfelelő eltolásinvariáns mértékkel tekintve valójában egy véletlen környezetben való véletlen bolyongást figyelünk meg. Az általunk vizsgált kérdés az, hogy teljesül-e az invariancia-elv, azaz igaz-e, hogy a folyamat skálalimesze egy Brown-mozgás. Telcs András igazolta ezt abban az esetben, amikor a bolyongást az említett invariáns mérték szerint kiátlagoljuk.
A TDK dolgozat eredménye, hogy az invariancia-elv majdnem minden konkrét csempézésre is igaz. A bizonyítás a gyakran alkalmazott korrektor-módszert használja, ami a gráf olyan módosítását jelenti a csúcsok eltolásával, hogy az új gráfon való bolyongás martingál legyen; erre az esetre ugyanis erős tételek állnak rendelkezésre. A fő feladatok tehát a korrektor létezésének bizonyítása, és az ezzel a bolyongásban okozott torzulás becslése a skálalimesz szempontjából. Az előbbihez spektrálelméleti megfontolások szükségesek, az utóbbi pedig a bolyongás már bizonyított ergodicitásán alapszik.
Irodalom:
1. N. Berger, M. Biskup, „Quenched Invariance Principle for Simple Random Walk on Percolation Clusters”, Probability Theory and Related Fields 137 (2007), 83--120.
2. M. Biskup, T. M. Prescott, „Functional CLT for Random Walk Among Bounded Random Conductances”, Electronic Journal of Probability 12 (2007), no. 49, 1323--1348.
3. D. Szász, „Some challenges in the theory of (semi-)dispersing billiards”, Nonlinearity, invited paper 21:187-193 (2008)
4. A. Telcs, „Diffusive Limits on the Penrose Tiling”, Journal of Statistical Physics 141 (2010), 661--668.
szerző
-
Bartha Zsolt
matematikus
nappali
konzulens
-
Dr. Telcs András
egyetemi docens, Számítástudományi és Információelméleti Tanszék
