Félcsoportok kongruenciáinak különböző típusú reduktív lezártjai

Kiss Ferenc 4. évf.

Konzulens: Nagy Attila, Algebra Tanszék

Egy S félcsoportot bal reduktívnak nevezünk, ha tetszőleges a és b elemei esetén abból a feltételből, hogy minden S-beli x-re xa=xb teljesül az következik, hogy a=b. A jobb reduktív félcsoport fogalma a bal reduktív félcsoport fogalmának duálisa. Egy félcsoportot reduktív félcsoportnak nevezünk, ha egyben bal és egyben jobb reduktív is. Egy S félcsoportot gyengén reduktívnak nevezünk, ha tetszőleges a és b elemei esetén abból a feltételből, hogy minden S-beli x-re az xa=xb és ax=bx egyenlőségek teljesülnek az következik, hogy a=b. Egy S félcsoporton értelmezett ρ kongruenciát bal (/jobb/gyengén/általánosan) reduktívnak nevezünk, ha az általa vett S/ρ faktor félcsoport bal (/job/gyengén/általánosan) reduktív.

Nagy Attila a [2] cikkben tetszőleges S félcsoport bal reduktív kongruenciáit vizsgálta. E célból S félcsoport tetszőleges ρ kongruenciájának bevezette (a jelen dolgozat jelölését használva) a (ρ)_l lezártját, melyet az alábbi módon definiált: tetszőleges a, b elemei az S félcsoportnak (ρ)_l relációban állnak egymással, akkor és csak akkor, ha S minden x eleme esetén az (xa, xb) pár ρ relációban áll egymással. Ezen kongruencia alapvető tulajdonságainak ismertetése után definiálta kongruenciák egy bővülő sorozatát, melyben a kezdő elem (ρ)_l^0 = ρ, a további kongruenciák pedig az (ρ)_l^n+1= ((ρ)_l^n)_l. Egyéb tételek mellet bebizonyította, hogy S félcsoport ι_S identikus kongruenciájával képzett ilyen sorozathoz akkor és csak akkor létezik n nem-negatív egész, melyre (ι_S)_l^n = lrc(ι_S) = ω_S, azaz az S félcsoport univerzális kongruenciájával (ahol lrc(ι_S) a legszűkebb, ι_S-et tartalmazó bal reduktív kongruenciát jelöli), amennyiben S félcsoport előáll egy bal zéró félcsoportnak egy nilpotens félcsoporttal vett ideálbővítéseként.

Jelen dolgozatban a [2]-ben végzett vizsgálatokat terjesztem ki gyengén reduktív és reduktív kongruenciákra. Ehhez bevezetem tetszőleges, S félcsoporton értelmezett ρ kongruencia következő lezártját: (ρ)_l^n,r^m, melynek akkor és csak akkor eleme az S félcsoport egy tetszőleges (a, b) elempárja, ha az (xay, xby) pár minden S^n -beli x és S^m-beli y elem esetén ρ relációban állnak egymással. Ezzel a jelöléssel a fentebb bemutatott (ρ)_l= (ρ)_l^1,r^0, míg a duálisa (ρ)_r= (ρ)_l^0,r^1.

A gyengén reduktív. kongruenciák vizsgálatára, bevezetem tetszőleges ρ kongruencia (ρ)_w bővítését, ami a (ρ)_l és a (ρ)_r metszeteként áll elő. Ebből képzem a (ρ)_w^0 = ρ kezdetű, (ρ)_w^n+1= ((ρ)_w^n)_w által definiált sorozatot. Bemutatok erre vonatkozó állításokat majd bebizonyítom, hogy tetszőleges S félcsoport ι_S kongruenciájával ilyen módon képzett sorozathoz akkor és csak akkor létezik n nem-negatív egész, melyre (ι_S)_w^n = wrc(ι_S) = ω_S (ahol wrc(ι_S) az ι_S-et tartalmazó legszűkebb gyengén reduktív kongruenciát jelöli), ha S egy nilpotens félcsoport.

Tetszőleges S félcsoport reduktív kongruenciáinak vizsgálatához, az alábbi sorozatot tekintem: az S egy tetszőleges ρ kongruenciájával képzem a a (ρ)_t^0 = ρ kezdetű, (ρ)_t^n = (ρ)_l^n,r^n módon definiált kongruenciákat. Egyéb ide vonatkozó tételek igazolása mellett megmutatom, hogy adott S félcsoport ι_S kongruenciájával ezen a módon előállított sorozathoz létezik n nem-negatív egész, melyre (ι_S)_t^n = rc(ι_S) = ω_S (ahol rc(ι_S) az ι_S-et tartalmazó legszűkebb reduktív kongruenciát jelöli), amennyiben az S félcsoport egy derékszögű kötegnek egy nilpotens félcsoporttal vett ideálbővítése.

Irodalom:

1. A.H. Clifford and G.B. Preston, „The algebraic theory of semigroups I-II”, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., I(1961), II(1967)

2. Attila Nagy, „Left reductive congruences on semigroups”, Semigroup Forum, 87(2013), 129 - 148

szerző

Kiss Ferenc
matematika
nappali

konzulens

Dr. Nagy Attila
egyetemi docens, Algebra Tanszék

helyezés

III. helyezett