A klasszikus összhangzattan axiomatikája
A klasszikus összhangzattan axiomatikája
Tóbiás András, matematika BSc III. évfolyam
Témavezető: Dr. G. Horváth Ákos, egyetemi docens, a Geometria tanszék vezetője
Amint minden művészeti ágra, úgy a zeneszerzésre vonatkozóan is preskriptív szabályrendszereket alkottak Európában a klasszicizmus korszakában. Ekkor születtek a klasszikus összhangzattan szerkesztési elvei, amelyeknek legnagyobb mértékben a bécsi klasszicista zeneszerzők művei felelnek meg. A szerkesztési elveket követő zeneművek legtisztább modelljét a négyszólamú összhangzattanpéldák adják. Az ezekre vonatkozó szólamvezetési és akkordváltási szabályok döntő részben J. S. Bach korábban született négyszólamú korálfeldolgozásainak tulajdonságain alapulnak.
Ebben a dolgozatban a klasszikus összhangzattan tárgykörébe tartozó zenei jelenségeket definiáljuk matematikai pontossággal, majd ezek felhasználásával kimondjuk a négyszólamú összhangzattanpéldákra vonatkozó szerkesztési elveket. Felvetődik a kérdés: miért van ehhez szükség matematikai formalizálásra, ha a szabályok általánosan ismertek és elfogadottak?
Egyrészt szükséges az összhangzattani tudás- és tananyag logikai rendezése, amelyhez a matematika nagy segítséget nyújt. Az összhangzattan-tanulást megkezdő középiskolás növendék általában tanult már korábban szolfézst, hallott bizonyos zeneelméleti fogalmakról, így nem újdonság számára például a kvintkör, az enharmonikusság, a hármashangzatok, a hangnemek vagy a funkciók létezése. Így ha ezen fogalmakat nem definiálják pontosan vagy redundáns módon magyarázzák egymásból, az sem feltétlenül gátolja meg a zeneelmélet-tanulásban való előrehaladását. A mély megértéshez, az összhangzattan struktúrájának átlátásához azonban tiszta fogalmakra és köztük rendezett logikai viszonyrendszerre van szükség, ténylegesen pusztán az összhangzattan alapját jelentő felhangrendszerből kiindulva. Dolgozatom első két fejezete ezzel foglalkozik: a fogalmakat mindig egymásra építve, a klasszikus összhangzattan szemléletének megfelelően adja meg – csak a felhangrendszer fizikai tulajdonságait és a halmazelmélet axiómarendszerét használva – a kvintkör, a jóltemperált zongora, az enharmonikusság, a hangközök, a konszonancia és disszonancia, a hármas- és négyeshangzatok definícióit és tulajdonságait.
Másrészt a matematikai formalizálás teszi lehetővé összhangzattanilag illetve matematikailag értékes új állítások megfogalmazását is. Előbbire példa a hangnemek tulajdonságait leíró harmadik fejezet. Ez matematikai szempontból a legkevésbé bonyolult rész, igen egyszerű aritmetikát használ, viszont zeneelméleti szempontból talán ez a fejezet hozza a legjelentősebb eredményeket: a hangnemek osztályozását, a dúr és a moll hangnem viszonyának és különbségeinek tisztázását. A negyedik fejezetben a topológia eszközeivel definiáljuk a négyszólamú összhangzattanpéldák és lejátszásaik tulajdonságait, erre építve adjuk meg a funkciók és a tonalitás jellemzőit az ötödik fejezetben, és így jutunk el a hatodik fejezetben, a tényleges axiomatizálás során a tonalitás alaptételéhez. Ez matematikai szempontból a legjelentősebb eredmény, bizonyítása a legkomolyabb a dolgozatban. A tétel állítása, hogy egy megvalósítható négyszólamú összhangzattanpélda pontosan akkor tonális, ha az akkordváltási pontjain kívül megfelel a klasszikus összhangzattannak. Ezt a zeneelméleti állítást a matematika eszközei nélkül nem is tudnánk megfogalmazni, holott a klasszikus összhangzattan szemlélete szerint nyilvánvalóan igaz.
A TDK-dolgozat a skálahangokból felépülő összhangzattanpéldák tulajdonságainak és akkordváltási szabályainak tárgyalásával zárul, a készülő bővített változatnak lesz tárgya az alterált (módosított hangokat tartalmazó) akkordok és a modulációk részletes jellemzése. Nyilvánvaló, hogy a mű, amely igazán csak az egyetemi szintű matematikai ismeretekkel rendelkező olvasó számára érthető könnyen, önmagában nem alkalmas zenészeknek szóló összhangzattan-tankönyvnek, de bízom abban, hogy logikai és szemléleti megalapozást, tárgyalási szerkezetet adhat egy új magyar zeneelmélet-tankönyv létrehozásához.
Irodalom:
[1] Dave Benson: Music: A Mathematical Offering, University of Aberdeen, 2008.
[2] Ligeti György: Döntés és automatizmus Pierre Boulez Structure 1a című művében, 1957, fordította: Kerékfy Márton, in: Ligeti György válogatott írásai, Rózsavölgyi és Társa Kiadó, Budapest, 2010.
[3] Kesztler Lőrinc: Összhangzattan, Editio Musica Budapest, 1952.
[4] D. Gareth Loy: Musimathics: the mathematical foundations of music, Cambridge, Mass., 2006-2007.
[5] C. Callender, I. Quinn, D. Tymoczko: Generalized Voice-Leading Spaces, in: Science 313, 72 (2006).
[6] Cristopher A. Thorpe: C.P.U. Bach: Using Markov Models for Chorale Harmonization, Harvard College, Cambridge, Mass., 1998.
szerző
-
Tóbiás András
matematika
nappali
konzulens
-
G.Horváth Ákos
tanszékvezető egyetemi tanár, Geometria Tanszék
