Irányított véletlen polimer modellek és a Kardar-Parisi-Zhang egyenlet
A Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) egyenlet egy nemlineáris sztochasztikus parciális differenciálegyenlet. Helytől és időtől függő véletlen magasságfüggvény időbeli változásának leírására alkalmas. A KPZ univerzalitási osztályba olyan modellek tartoznak, melyek hosszútávú viselkedése hasonló a KPZ-egyenlet megoldásáéhoz. A KPZ-egyenlet és univerzalitási osztály vizsgálata a modern valószínűségszámítás jelenleg is aktívan kutatott ága, melyhez közvetlenül kapcsolódnak az irányított véletlen polimer modellek.
A dolgozatban először egy szemi-diszkrét irányított véletlen polimer modellt fogunk vizsgálni, a határon log-gamma eloszlású súlyokkal. A modell partíciófüggvénye megfelelő skálázással a sztochasztikus hőegyenlet megoldásához tart (amely a folytonos polimer partíciófüggvénye), illetve ezzel ekvivalens módon ugyanezen polimer szabad energiája a KPZ egyenlet Hopf-Cole megoldásához tart (amely a folytonos polimer szabad energiája). Egyik feladatunk a mi esetünkre vonatkozó kezdeti feltételek átgondolása.
Fő eredményünk egy határeloszlástétel lesz a folytonos polimer modell szabad energiájára. A bizonyításhoz szükséges egy Fredholm-determináns formula a folytonos partíciófüggvény Laplace-transzformáltjára, mely szintén egy fontos eredménye a munkának. A kapott határeloszlás és a szabad energia fluktuációja alapján az állításunk összhangban van a KPZ univerzalitási sejtéssel.
szerző
-
Talyigás Zsófia
Matematikus mesterképzési szak (MSc)
mesterképzés (MA/MSc)
konzulens
-
Dr. Vető Bálint
egyetemi docens, Sztochasztika Tanszék