Piramisok geometriája
Poliédereknek nevezzük a 3 dimenziós térben síklapokkal határolt testeket. Konvexnek nevezünk egy poliédert, ha két tetszőleges pontját összekötő szakasz a poliéder belsejében halad. Konvex poliéderre jó példa egy kocka, vagy akár egy tetraéder.
A poliédereket csoportosíthatjuk lapjaik, csúcsaik és éleik száma szerint. Az Euler-féle poliéder tétel alapján konvex poliéderekre igaz az f+v=e+2 összefüggés, ahol f a lapok, v a csúcsok, e pedig az élek száma. Ezt felhasználva azt mondjuk, hogy az f lapú, v csúcsú konvex poliéderek az (f,v)^C elsődleges kombinatorikai osztály elemei.
Ennél kevésbé ismert, ám bizonyos szempontból hasonló osztályozása a poliédereknek az egyensúlyi helyzeteik száma alapján való csoportosítás. A lapokon lévő egyensúlyi helyzeteket stabil (S), a csúcsokon lévőket instabil (U), az éleken levő egyensúlyokat pedig nyereg típusú egyensúlyoknak (H) nevezzük. A Poincaré-Hopf tétel alapján igaz az S+U=H+2 összefüggés, melynek alapján a poliédereket (S,U)^E elsődleges egyensúlyi osztályokba soroljuk.
Azon túlmenően, hogy f≥S, v≥U, elég kevés általános összefüggés ismert a két osztályozás kapcsolatáról, még a legegyszerűbb osztályokban is rengeteg a nyitott kérdés.
A dolgozat témája az (5,5)^C osztály (az úgynevezett pentaéderek, vagy más néven négyszög alapú gúlák, avagy piramisok) besorolása az (S,U)^E osztályokba MATLAB számítógépes program használatával. A következő kérdésekre kerestem a választ:
(a) SEJTÉS (J.H. Conway, 1969): Nem létezik pentaéder az (S,1)^E, (1,U)^E (S,U=1,2,3,4,5) egyensúlyi osztályokban.
(b) SEJTÉS: Létezik pentaéder az az (S,U)^E (S,U=2,3,4,5) osztályok mindegyikében.
A program segítségével mindkét kérdésre igenlő választ kaptam, vagyis numerikusan megerősítettem J.H. Conway 1969-es sejtését és konstruktív eszközökkel bebizonyítottam a (b) sejtést. Az utóbbival kapcsolatos eredmény alátámasztására az azonosított 16 egyensúlyi osztály egy-egy kiválasztott elemét 3D nyomtatóval is megvalósítottam.
szerző
-
Regős Krisztina
Építészmérnöki mesterképzési szak osztatlan
egységes, osztatlan képzés
konzulensek
-
Dr. Domokos Gábor
egyetemi tanár, Morfológia és Geometriai Modellezés Tanszék -
-
Dr. Kovács Norbert Krisztián
adjunktus, Polimertechnika Tanszék
