Repedéshálózatok időfejlődése, avagy a Gilbert-piaffe

Bár a mindennapi életben sokszor találkozunk repedéses jelenségekkel, viszont ezen folyamatokat nagyon nehéz irányítani, illetve előre jelezni esetleges bekövetkezésüket. Mivel a repedés folyamata egy visszafordíthatatlan jelenség és minden új repedés kialakulása jelentősen függ a korábban létrejött repedéshálózattól, a jelenség mélyebb megértéséhez elengedhetetlen, hogy időbeli folyamatként is vizsgáljuk a törésmintázatok kialakulását. Bármennyire is alapvetőnek tűnik azonban ez a kérdés, a szakirodalom csak a közelmúltban kezdett foglalkozni a leírásával. A témában végzett egyik legjelentősebb kísérletet dokumentálja Nakahara és szerzőtársai 2018-as munkája [1].

A repedezési folyamat matematikai leírásához vezető út első lépése a repedéshálózatok (statikus) geometriai leírása, az ezen a téren végzett kutatásokat foglalja össze és teszi egységes, a konvex mozaikok elméletét felhasználó keretbe a [2,3] publikációkban bemutatott és a [4] publikációban példákkal illusztrált geometriai modell. Ezen modell keretében egy repedéshálózat a hálózatot jellemző ( n ̅*,v ̅*) kombinatorikus átlagok által kifeszített, úgynevezett szimbolikus sík egy pontjával azonosítható. Erre a modellre építve tehetjük fel a következő kérdést: ha egy repedéshálózat különböző fizikai hatásokra az időben fejlődik, akkor azt őt jellemző pont mozgását hogyan lehet leírni a fizikai hatások ismeretében? Erre a kérdésre keresi a választ a [5] cikk és adja meg a választ a [6] munka. Utóbbi egy olyan általános, közönséges differenciál-egyenletekből álló rendszert mutat be, mely a fizikai repedezési folyamatok széles körére alkalmazható, a konkrét folyamat fizikáját leíró, úgynevezett fundamentális táblázat meghatározása után.

Munkánk során felállítottunk egy modell-hipotézist, mely szerint az [1] kísérletben megfigyelt mozaik kombinatorikailag ekvivalens egy konvex mozaikkal, nevezetesen az úgynevezett Gilbert-mozaikkal. A Gilbert mozaik egy olyan matematikai modell, melyben a síkon valamely eloszlás szerint véletlenszerűen választott pontokból, egy véletlenszerűen választott szög által kijelölt egyenes mentén, két ellentétes irányba, egyenletes sebességgel indulnak el a “repedések” amíg el nem érnek egy másik repedést, és ott egy n*=2 fokszámú, úgynevezett irreguláris csomópontnál megállnak.

Meghatároztuk a Gilbert mozaik evolúcióját leíró fundamentális táblázatot és ennek segítségével felírtuk [4] cikkben ismertetett általános egyenlet konkrét, modell-specifikus változatát melynek egyetlen (globális) fixpontja (n ̅*,v ̅*)=(2,4). A Gilbert-mozaik hordozza a kísérletben megfigyelt egyik legérdekesebb jelenséget, nevezetesen, hogy kizárólag n*=2 fokszámú, úgynevezett irreguláris csomópontok keletkeznek. Mivel a szimbolikus síkon a konvex mozaikok tartományának egyetlen pontjára igaz, hogy n*=2, ezért megállapíthatjuk, hogy a Gilbert-mozaik időfejlődése a szimbolikus síkon egy stacionárius folyamat, („piaffe”) hiszen a mozaik szimbolikus síkon rögzített helyzete a fixponttól csak a mozaik véges mérete miatt fog különbözni.

Mivel a [4] elmélet végtelen mozaikok időfejlődését tárgyalja, a kísérlettel való pontos egyezés vizsgálata céljából kifejlesztettünk egy véges mozaikokon operáló numerikus modellt is. A modellnek két lényeges szabad paramétere van: az egyes repedések megindulása közötti időkésleltetés és az egyenest meghatározó véletlen szögre megengedett intervallum. A két paraméter alkalmas hangolásával sikerült elérnünk, hogy a Gilbert mozaik időfejlődése nem csak a kísérleti mozaikban mért cellafokszámok v ̅*átlagának, de a teljes cellafokszám-eloszlásnak az időfejlődését is meglepő pontossággal visszaadja.

Tudomásunk szerint ez az első alkalom, hogy egy fizikai repedéshálózat időfejlődését konvex mozaikra alapuló dinamikus geometriai modellel sikerült leírni.

[1] A. Nakahara et al.,‘Mechanism of memory effect of paste which dominates desiccation crack patterns’,Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical,Physical and Engineering Sciences,vol.377,no.2136,Nov.2018,doi:10.1098/rsta.2017.0395.

[2] G.Domokos and Z.Lángi,'On some average properties of convex mosaics',Experimental Mathematics,31:3,783-793,(2022) DOI:10.1080/10586458.2019.1691090

[3] G.Domokos,Á.G.Horváth and K.Regős,A two-vertex theorem for normal tilings.Aequat.Math.97,185–197(2023).https://doi.org/10.1007/s00010-022-00888-0

[4] G.Domokos,D. J.Jerolmack,F. Kun,and J. Török,‘Plato’s cube and the natural geometry of fragmentation’,Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. 117, no.31, Aug.2020,doi:10.1073/pnas.2001037117.

[5] G. Domokos and K. Regős,‘A discrete time evolution model for fracture networks’,Central European Journal of Operations Research,Dec.2022,doi:10.1007/s10100-022-00838-w.

[6] P. Bálint,G.Domokos,and K.Regős,‘An Evolution Model for Polygonal Tessellations as Models for Crack Networks and Other Natural Patterns’,Journal of Statistical Physics,vol.190,no.8,Jul.2023,doi:10.1007/s10955-023-03146-y

szerzők

• 
  Almádi Gergő
  Építészmérnöki mesterképzési szak osztatlan
  egységes, osztatlan képzés
• 
  Ferencz Eszter
  Építészmérnöki mesterképzési szak osztatlan
  egységes, osztatlan képzés

konzulensek

• 
  Dr. Domokos Gábor
  egyetemi tanár, Morfológia és Geometriai Modellezés Tanszék
• 
  Dr. Kun Ferenc
  egyetemi tanár, Debreceni Egyetem (külső)