Nem létezik mono-monostatikus tetraéder

Tetraédernek nevezzük azokat a poliédereket, melyeket négy háromszöglap határol.

Bármely poliéder esetén 3 különböző típusú (nem degenerált) egyensúly létezik. A lapokon elhelyezkedő egyensúlyi helyzeteket stabil, a csúcsokon elhelyezkedő egyensúlyi helyzeteket instabil, és az éleken elhelyezkedő egyensúlyi helyzeteket nyeregtípusú, egyensúlyoknak nevezzük, és számukat rendre S, U és H betűkkel jelöljük. A három mennyiség nem független, a Poincaré-Hopf tétel alapján, konvex poliédereken S+U-H=2.

Egyensúlyi helyzeteik száma alapján a poliédereket az (S,U)^E egyensúlyi osztályokba soroljuk.

Inhomogén tömegeloszlást feltételezve egy poliéder súlypontja bárhová eshet a poliéderen belül.

Monostabilnak illetve mono-instabilnak nevezzük az (1,U)^E illetve az (S,1)^E egyensúlyi osztályba sorolható poliédereket és mono-monostatikusnak nevezzük az (1,1)^E osztály elemeit.

A dolgozat témája annak igazolása, hogy nem létezik mono-monostatikus tetraéder.

A Poincaré-Hopf tétel alapján a tétel egyik korolláriuma, hogy egy tetraéder nyeregtípusú egyensúlyainak száma legalább egy illetve egy tetraéder összes egyensúlyainak számára S+U+H>=4.

Irodalomjegyzék:

[1] Középiskolai matematikai és fizikai lapok, 70. ´évfolyam 5. szám, Domokos Gábor, Kovács Flórián, Lángi Zsolt, Regős Krisztina, Varga Péter Tamás: Konvex poliéderek egyensúlyai

[2] :V.I. Arnold, Ordinary differential equations 10th printing, 1998. MIT Press.

[3] Várkonyi, Péter & Domokos, Gabor. (2006). Mono-monostatic bodies. The Mathematical Intelligencer. 28. 34-38. 10.1007/BF02984701.

szerző

• 
  Almádi Gergő
  Építészmérnöki mesterképzési szak osztatlan
  egységes, osztatlan képzés

konzulensek

• 
  Dr. Domokos Gábor
  egyetemi tanár, Morfológia és Geometriai Modellezés Tanszék
• 
  Regős Krisztina
  doktorandusz, Morfológia és Geometriai Modellezés Tanszék