Nemeuklideszi geometriák 3D vizualizációja számítógépes grafikai eszközökkel

Agyunk az euklideszi geometriában való gondolkodáshoz szokott, természetesnek látjuk és érezzük annak szabályait. Az egyik ilyen szabályt, Euklidesz 5. posztulátumát, miszerint egy egyeneshez egy külső ponton át egyetlen másik, azzal egysíkú egyenes húzható, amely az előbbit nem metszi, már Euklidesz első kritikusai is megkérdőjelezték, vagy megpróbálták a többi axiómából bizonyítani. Később - többek között Bolyai és Lobacsevszkij munkája nyomán - kidolgoztak más, nemeuklideszi geometriákat is, amelyek ezt, vagy más axiómákat elvetettek.

Csupán a fent említett párhuzamossági axiómát, és abban lényegében egyetlen szót megváltoztatva az euklideszi geometriából két állandó görbületű geometriához juthatunk. Kétdimenziós gömbi geometriában minden két egyenes metszi egymást, hiperbolikus geometriában pedig több nem metsző egyenes is húzható egy külső ponton át. Ezek a nemeuklideszi geometriák, bár axiómarendszerükben nagyon hasonlóak, viselkedésükben jelentősen eltérnek a megszokott euklideszi geometriától. Ezeket az új világokat a számítógépes vizualizáció eszközével ismerhetjük meg, amikor az euklideszi geometriában szocializálódott felhasználót turistaként vezetjük végig. A 2D geometriák megjelenítésére térképeket használhatunk, mint pl. a Mercator térkép gömbhöz és a Poincaré diszk hiperbolikus geometriához, de a 3D nemeuklideszi térgeometria szemléltetése már komolyabb számítógépes grafikai eszközöket igényel.

Dolgozatunk célja ezen 3D nemeuklideszi geometriák számítógépes grafikai módszerekkel való vizualizálása. A 3D számítógépes grafikai megjelenítés lehet pixel vezérelt, más néven sugárkövetés alapú, amikor az objektumokat a fény irányát visszafelé követve érjük el a megfigyelő szeméből. A nemeuklideszi geometriák esetében a fény nem egyenes pályáját kell követni, vagy a világot úgy torzítani, hogy a a torzítás a fény útját egyenesítse ki. Másrészről, a megjelenítés lehet objektum vezérelt, amikor az objektumainkat vetítjük a képsíkra. Nemeuklideszi geometriában az vetítőegyeneseket kell újra értelmezni. A megjelenítésen kívül további lényeges feladat a virtuális világ felépítése. Euklideszi geometriára épülő grafikus rendszerekben az objektumoknak, mint pl. a háromszög, gömb, henger, ellipszoid stb., valamint a transzformációknak, mint pl. az eltolás vagy forgatás jól ismert képletei vannak, amelyeket a képszintézis rendszerünkben implementálni kell. Nemeuklideszi geometriában azonban első lépésben újra kell gondolni, hogy mit is értünk háromszög, gömb, henger, eltolás, merőleges állítás alatt, és az új világban új képleteket alkotni ezekhez a szereplőkhöz. A dolgozat ezeket a problémákat járja körbe és bemutat egy sugárkövetés alapú, és egy objektum vezérelt 3D nemeuklideszi megjelenítő programot.

szerzők

• 
  Fazakas Réka
  Mérnök informatikus szak, alapképzés
  alapképzés (BA/BSc)
• 
  Banczik Zoltán Ádám
  Mérnök informatikus szak, alapképzés
  alapképzés (BA/BSc)

konzulens

• 
  Szirmay-Kalos László
  egyetemi tanár, Irányítástechnika és Informatika Tanszék