Merev differenciálegyenletek megoldása adaptív Deep Euler és Neural ODE módszerekkel
Az utóbbi években a neurális hálós módszerek egyre több különböző kutatási területen kerülnek sikerrel alkalmazásra. Elterjedésüket a rendelkezésre álló számítási kapacitás növekedése, a grafikus kártyák széleskörű használata és a téma irodalmának folyamatos bővülése hajtja. A nemlineáris közönséges differenciálegyenletek neurális hálóval támogatott numerikus megoldására is több ígéretes megoldás született.
A neurális hálós módszerek alkalmazásától elsősorban azt várjuk, hogy a közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldásának gyakori és súlyos problémáját, a rendszer merev (stiff) viselkedését kiküszöbölik. Merev rendszerek esetében csak rendkívül kis időlépéssel haladhat az integrálás akkor is, amikor ezt a megoldás alakja önmagában nem indokolja. Erre példa a szonokémia területén jól ismert Keller−Miksis-egyenlet viselkedése, amelynek következménye a dolgozatban bemutatott kutatás. A legfőbb probléma az, hogy a merev rendszerek integrálásának időigénye explicit megoldók alkalmazása esetén az egyébként megszokott sokszorosára növekszik. Implicit megoldók használatánál pedig a sok dimenziós egyenletek jelenthetnek problémát, mivel a nemlineáris egyenletrendszer megoldásának számítási igénye négyzetesen nő a dimenziók számával. Ezen problémákra jelenthetnek jó megoldást a neurális hálós módszerek.
Dolgozatomban a Neural ODE módszert és a Deep Euler módszer egy adaptív változatát tesztelem és hasonlítom össze. A Deep Euler módszer lényege, hogy az Euler-módszer hibáját egy neurális hálóval becsüljük, majd ezt a becslést hozzáadva az eredeti értékhez, egy pontosabb megoldás áll elő. Az eredeti módszer általam alkotott adaptív változatát alkalmazom, mivel a gyorsan változó dinamikát tartalmazó Keller−Miksis egyenlet integrálásához a lépésköz folyamatos módosítása elengedhetetlen. A Neural ODE módszer pedig lehetőséget biztosít egy sokdimenziós merev rendszer neurális hálóra való lecserélésére, amely könnyebben kezelhető és nem merev. A dolgozatban a neurális hálós módszerek alkalmazásának fontos nehézségeit; a számítási igény csökkentésének problémáját, az időfüggő gerjesztés hatását és a merev rendszernek a neurális háló tanítására gyakorolt hatását is vizsgálom. A teszteseteket és az összehasonlítás alapját a Van der Pol egyenlet és a Keller−Miksis-egyenlet képezik.
szerző
-
Plavecz Lambert
Gépészeti modellezés mesterképzési szak
mesterképzés (MA/MSc)
konzulens
-
Dr. Hegedűs Ferenc
Docens, Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék