Deep Euler módszer használata közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldására
A műszaki tudomány több területén központi szerepet játszanak a nemlineáris differenciálegyenletek. Megoldásuk azonban bonyolult feladat, analitikusan általában nem is lehetséges. A numerikus megoldás pedig számos nehézséggel jár. Az egyik legfontosabb az egyenletek számához kötődik: a fázistér dimenziójának növelése a számítási igény növekedését és a merev („stiff”) tulajdonság előtérbe kerülését vonhatja maga után. Ez utóbbi meglehetősen nagy problémát jelent, hiszen az egyébként jól használható adaptív megoldók a fázistér olyan részein is belassulnak, ahol a megoldás alakja ezt nem indokolja. A parciális differenciálegyenletekből diszkretizálással létrehozott közönséges differenciálegyenlet-rendszereket méretükből adódóan különösen is érinti ez a jelenség. A megoldást az utóbbi időben több különböző tudományterületen sikeresen alkalmazott neurális hálók jelenthetik.
Ez a dolgozat az ígéretes Deep Euler névre hallgató módszert vizsgálja, amelyben a neurális háló a differenciálegyenlet megoldása helyett az Euler-módszer hibáját közelíti. Ezt a közelítést az eredeti Euler-lépéshez hozzáadva egy pontosabb megoldás jön létre. Az elvárásainktól függően a pontosabb megoldás helyett az időlépés növelésével az integrálás gyorsítását érhetjük el. A módszer előnyei közé tartozik, hogy az így létrejövő numerikus megoldó továbbra is egylépéses, köztes lépésekre nincs szüksége, így elkerülhető a nagyobb differenciálegyenlet-rendszerek jobb oldalának többszöri kiértékelése.
A dolgozatban a Deep Euler módszer működését és teljesítményét vizsgálom a stabil határciklussal rendelkező, disszipatív Van der Pol egyenleten. Központi témám a tanítóadatok generálása, három különböző megközelítést is tesztelek: adatgenerálás egyetlen trajektóriából, több trajektóriából, illetve tanítóadatok előállítása a fázistérben véletlenszerűen. Ezen felül foglalkozom a módszer alkalmazhatóságának korlátaival és az optimális neurális háló topológia kérdésével is.
