Termodinamikailag konzisztens szimplektikus numerikus módszerek fejlesztése közönséges differenciál-egyenletekkel leírható rendszerekre
Mérnöki problémák során gyakran előfordul, hogy a lejátszódó folyamat során egyes fizikai tulajdonságok nehezen, vagy egyáltalán nem mérhetők. Ilyenkor numerikus szimulációk segítségével adhatunk jóslatot a keresett mennyiség(ek)re. Ezen TDK dolgozat megszületését is egy ilyen probléma motiválta: hogyan tudnánk mérni egy Pneumobil (sűrített levegő hajtotta versenyjármű) munkahengerében lezajló folyamatok során a hőmérsékletet.
A feladat megoldásához először felállítottam a munkahenger leegyszerűsített matematikai modelljét, melyet egy két kamrából és az őket elválasztó dugattyúból álló termodinamikai rendszernek tekintettem. A megoldandó egyenleteket a nemegyensúlyi termodinamika homogén megfogalmazásával írtam fel, azaz a mennyiségek időfüggését figyelembe vesszük, azonban a térfüggésüktől eltekintünk. Az így felállított egyenletrendszerben a termikus és mechanikai folyamatok mint időfüggő dinamikai folyamatok vannak figyelembe véve.
Munkám során a MATLAB numerikus programkörnyezetet használtam. A felállított egyenletrendszert először a szoftver beépített algoritmusaival oldottam meg. Arra a meglepő eredményre jutottam, hogy ezek a megoldók a rendszer összenergiáját numerikusan csökkentik, már a reverzibilis határesetben is (amikor a különböző disszipatív hatásokat elhanyagoljuk). Így felvetődik a kérdés, hogyan is hihetnénk disszipatív rendszerek numerikus szimulációinak az eredményében, hogyha már a reverzibilis rendszerek szimulációi is kérdéseket vetnek fel.
A szakirodalomban fellelhetők ún. szimplektikus numerikus módszerek, melyeket Hamilton-féle mechanikai rendszerek numerikus megoldásához fejlesztették ki. Ezen módszerek közös tulajdonsága, hogy egy diszkretizált összenergiát egzaktul megtartanak. Az előzőekben ismertetett, disszipatív hatásoktól megfosztott termodinamikai rendszer szintén megfogalmazható egy általánosított hamiltoni-rendszerként, melynek megoldását így már szimplektikus módszerekkel is kereshetjük.
Dolgozatomban a felállított modell megoldásán keresztül összehasonlítom a MATLAB beépített megoldóit és néhány klasszikus, de nem szimplektikus (Euler-, Crank–Nicolson-, Runge–Kutta-módszerek) módszert szimplektikus numerikus módszerekkel (szimplektikus Euler- és Störmer–Verlet-módszer). A dolgozat végén összegzem ezen megbízható numerikus módszerek irreverzibilis általánosítás felé mutató utat.
