Nemlineáris dinamikai rendszerek megoldásának közelítése és stabilitásvizsgálata Carleman linearizálási módszerével
A TDK dolgozat középpontjában egy a 19. század első felében publikált [1] linearizálási módszer áll, az ún. Carleman linearizáció. Ennek lényege, hogy az adott (analitikus nemlinearitásokkal rendelkező) autonóm rendszert leíró differenciálegyenlete(ke)t felbonthatjuk egy végtelen számú közönséges lineáris differenciálegyenletből álló egyenletrendszerré. Elsőként, az eljárás alapos megértése érdekében Steeb [2, 5] munkáit tanulmányoztam, és ezek alapján sikerült a Duffing oszcillátor viselkedését leíró egyenlet közelítő megoldását megadnom az említett módszerrel.
Tsiligiannis és Lyberatos a fent leírt metódust továbbfejlesztette és lineáris algebrai eszközök felhasználásával két tételt vezettek be és bizonyítottak [3]. A Hopf bifurkáció kialakulásának szükséges és elégséges feltételét sikerült megfogalmazni ezekben a tételekben, adott rendszerhez tartozó Carleman mátrix tulajdonságaira vonatkozóan. Eredményük szerint a vizsgált rendszer első Poincaré-Ljapunov konstansa, a Carleman mátrix általánosított nullvektorában megjelenik. Ennek nyomán sikerült megállapítanom, analitikus számításokkal, hogy a Carleman mátrix (többszörös) nulla sajátértékének algebrai és geometriai multiplicitása kapcsolatban van a Poincaré-Ljapunov konstansok értékével (megegyeznek-e nullával vagy sem). Ezután Carleman mátrix segítségével a rendszer megoldásának közelítését vizsgáltam meg, melyben ugyancsak megjelennek a Poincaré-Ljapunov konstansok (a közelítés rendjétől és a konstansok értékétől függően).
A Carleman linearizáció segítségével végzett bifurkáció analízis és egy Sotomayorról elnevezett tétel [4] között analógiát vélek felfedezni. A továbbiakban ezt szeretném tanulmányozni és alkalmazást nyújtani nemhiperbolikus egyensúlyi pontokkal rendelkező rendszerek vizsgálatára. Emellett alkalmazni szeretném a Carleman linearizációt további esetek, különböző bifurkációinak (nyeregpont, pitchfork, Hopf) vizsgálatára.
A fentebb leírtak alapján azt gondolom, hogy a Carleman linearizáció egy elfeledett, azonban hasznos módszer. Egyszerűen használható nemlineáris rendszerek közelítő megoldásainak előállítására és bifurkáció analízisre egyaránt.
Irodalom:
1. Carleman, T. Application de la théorie des équations intégrales linéaires aux systèmes d’équations différentielles non linéaires. Acta Mathematica, vol. 59, no. 1, 63–87 (1932).
2. Kowalski, K. and Steeb, W.-H. Nonlinear dynamical systems and Carleman linearization. (World Scientific, 1991).
3. Lyberatos, G. and Tsiligiannis, C. A. A linear algebraic method for analysing Hopf bifurcation of chemical reaction systems. Chemical engineering science, vol. 42, no. 5, 1242–1244 (1987).
4. Perko, L. Differential equations and dynamical systems. (Springer Science & Business Media, 2013).
5. Steeb, W.-H. and Wilhelm, F. Non-linear autonomous systems of differential equations and Carleman linearization procedure. Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 77, no. 2, 601–611 (1980).
szerző
-
Hubay Csanád Árpád
Gépészeti modellezés mesterképzési szak
mesterképzés (MA/MSc)
konzulens
-
Dr. Kalmár-Nagy Tamás
Docens, Áramlástan Tanszék