Út az automatikus görbeillesztés felé

Szerző: Lovász Zoltán, MSc, 1. félév

Konzulens: Dr. Dombóvári Zoltán, MM. tanszék

Absztrakt

Mechanikai rendszerek esetében, a rendszer különböző pontjain elvégzett gerjesztések és a mért válaszok közötti matematikai kapcsolatot a frekvencia-átviteli függvény határozza meg. A rendszer rezgéstani szempontból fontos tulajdonságai, azaz: sajtáfrekvenciák, csillapítások és lengésképek ebből a függvényből nyerhetőek ki.

Analitikus esetet tekintve a frekvencia-átviteli függvény felírható két polinom hányadosaként. A nevezőben található polinom hordozza a rendszer spektrális tulajdonságait. Ahhoz, hogy ezeket kinyerjük, mérnünk kell a rendszer frekvencia-átviteli függvényét, majd erre a mért függvényre a legkisebb négyzetek módszerével hányados-polinomot illesztünk. A dolgozatból kiderül, hogy ha a hányados polinomot ortogonális polinom- rendszerből képezzük, akkor a legkisebb négyzetek módszerénél az együttható mátrix leegyszerűsödik elérhetővé téve a pontosabb numerikus megoldást. Ortogonális polinom-rendszer előállítására a három lépéses rekurzió egy módosított változatát a Forsythe-metódust használtam, amely numerikus szempontból könnyen előállítható. Az így illesztett hányados polinomnál a nevező gyökei tartalmazzák a rendszer sajátfrekvenciáit és a hozzájuk tartozó csillapításokat. Mivel az illesztett polinom rendje nagy (200 – 300), ezért gyökeit a polinom-rendszer együtthatói, valamint a Forsythe-metódussal kapott segédegyütthatók segítségével felépített mátrix sajátértékei adják meg. Dolgozatomban két, a gyökök meghatározására használható mátrixot hasonlítottam össze figyelve, hogy egyre nagyobb rendű polinom gyökeit keresve melyik tudja ezeket pontosabban számítani.

A hányados-polinom illesztéses módszer hátránya, hogy hamis gyököket is generál, melyeknek fizikai tartalma nincs, csupán a használt metódus mellékterméke. Dolgozatomban e gyökök kiszűrésére egy iterációs eljárást fejlesztettünk ki, melynek lényege, hogy iterációt hajtunk végre egyik polinom rendből a másikba és figyeljük a kérdéses gyök viselkedését. Ha valós, fizikai gyöknek megfelelő viselkedést mutat az iteráció során akkor elfogadjuk valós gyöknek. A hamis gyökkeresésre használt statisztikus módszerekkel ellentétben ez a metódus teljesen determinisztikus alapú.

Irodalom:

• Mark H. Richardson & David L. Formenti, Paramter estimation from Frequency Response Function Using Rational Fractional Polynomials, 1st IMAC Conference, 1982

• George E. Forsythe, Generation and Use of Orthogonal Polynomials for Data-Fitting with Digital Computer, Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, 1957

szerző

Lovász Zoltán
Gépészeti modellezés mesterképzési szak
mesterképzés (MA/MSc)

konzulens

old Dombóvári Zoltán
adjunktus, Műszaki Mechanikai Tanszék

helyezés

I. helyezett