Késleltetett differenciálegyenletek vizsgálata POD módszerrel
A késleltetett differenciálegyenletekben (DDE) az ismeretlen függvény deriváltja nem csak az időtől és az adott időpontban értelmezett helyettesítési értékétől függ, hanem a függvény múltbeli értékeitől is. Az ilyen egyenletek egyre népszerűbbek, hiszen sok az olyan gyakorlati probléma, ahol az adott rendszer dinamikáját jelentősen befolyásolják a múltbeli események.
Munkánk azon a megfigyelésen alapul, hogy a késleltetett differenciálegyenletek átírhatók parciális differenciálegyenletté, tehát a vizsgált egyenlet megoldása reprezentálható egy tér és idő függő folyamatként. POD (Proper Orthogonal Decomposition) módszer segítségével a numerikus megoldás komponenseire bontható, ahol az egyes komponensekhez tartozó szinguláris érték jelzi az információtartalmat.
Dolgozatunkban azt vizsgáljuk, hogy a szinguláris értékek milyen kapcsolatban állnak a késleltetett egyenlet stabilitásával. Két egyszerűbb egyenlettel foglalkoztunk, a Hayes egyenlettel és egy késleltetéssel gerjesztett csillapított oszcillátor mozgásegyenletével. Először numerikusan integráltuk az egyenleteket különböző paraméterek mellett. Ezek után a numerikus megoldást komponensekre bontottuk, és ábrázoltuk az egyes komponensek erősségét a paraméter tér fölött. Az így kapott diagramok nagy hasonlóságot mutattak az analitikusan meghatározható stabilitási diagrammokkal.
Irodalom:
1. Asl F. M., Ulsoy A. G. (2003) Analysis of a system of linear delay differential equations. Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control 125:215-223.
2. Amann A., Schöll E., Just W. (2007) Some basic remarks on eigenmode expansions of time-delay dynamics. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 373:191-202.
3. Hayes N. D. (1950) Roots of the transcendental equation associated with a certain differential-difference equation. J. London Math. Soc. 25:226-232.
4. Bellen A., Maset S. (1998) Numerical solution of constant coefficient linear delay differential equations as abstract Cauchy problems. Numerische Mathematik 81:751-774.
5. Insperger T., Stépán G. (2011) Semi-Discretization for Time-Delay Systems. Springer, Berlin.
6. Breda D., Maset S., Vermiglio R. (2014) Stability of Linear Delay Differential Equations. Springer, Berlin.
szerző
-
Heizer Balázs
Gépészmérnöki mesterképzési szak
mesterképzés (MA/MSc)
konzulens
-
Dr. Kalmár-Nagy Tamás
Docens, Áramlástan Tanszék
