Egyensúlyi helyzetek meghatározása a klasszikus korlátozott háromtest-probléma témakörében
A bemutatott kutatás az ún. „korlátozott háromtest-probléma” témakörére épül, melyet a Francia-Olasz matematikus Joseph-Louis Lagrange vizsgált széleskörűen először. A két fő tömeg M1 és M2 jelentőségének feltételezésével M-hez képest a megvalósuló mozgás nagyon jó közelítéssel egy álló síkon valósul meg. Lagrange tömegre való feltételezésével és más elhanyagolásokkal, olyan pontok találhatók ezen a síkon ahol az M-re ható erők kiegyensúlyozzák egymást, azaz, másszóval M egyensúlyi helyzetbe kerülhet. Ennek eredményeképpen öt megkülönböztethető helyzetű, nem tömeggel azonosított, egyensúlyi helyzet található, melyek közül némely megtalálható egyszerű más kicsit komplikáltabb módon. Ez az öt különböző egyensúlyi helyzetet közös néven Lagrange-pontoknak hívjuk, melyek mindig megtalálhatók két egymással összemérhető két tömeget tartalmazó égi mechanikai rendszerben, mint a Nap-Föld, Föld-Hold rendszerek.
Amellett, hogy bizonyos égi mechanikai kettős rendszerekben jelentős égi törmelék halmozódhat fel, – mint például a Trójai aszteroidák a Nap-Jupiter rendszerben, – ezek a speciális égi pontok jelentős szerephez juthatnak különböző űrbéli missziók során. Ezek az egyensúlyi helyzetek a mechanikai/matematikai jellemzők alapján lehetnek stabilak, illetve instabilak. Ha stabilitás valamilyen formában biztosított, műholdakat vagy egyéb űrbéli eszközöket lehet ezeken a térbeli pontokban tartani kevés befektetett energia hozzáadással relatíve egy helyzetben a fent említett kettős égi rendszerhez képest.
A kutatás első részében a tömegvonzásból és a körmozgásból adódó potenciál és a klasszikus Dirichlet tétel alkalmazása alapján levezethetők az egyensúlyi helyzetek, azaz a Lagrange-pontok. Először bemutatjuk a potenciálfüggvény meghatározásásnak módját, illetve a tisztán kettős rendszerekre érvények Kepler-törvényeket. A teljes Dirichlet-tétel alkalmazásával mind az egyensúlyi helyzetek meghatározhatók a lokális sík közös tömegpontjához képesti (x, y) koordináta-rendszerben, mind azok stabilitási jellemzői is. Ez a számítás elvégezhető a potenciál függvény segítségével mint geometriai extrénum keresés és görbületmeghatározás.
A második részben kitérünk Lagrange klasszikus gondolatmenetére. Ebben a kutatási részben alkalmazzuk az analitikus megoldáshoz szükséges Lagrange által bevezetett közelítéseket, melyeket összevetünk a numerikus eredményekkel, különös tekintetettel figyelembe véve egy valós kettős pl. Föld-Hold rendszert.
Irodalom:
1. Schnittman, J.D. (2018). The Lagrange equilibrium points L4 and L5 in a black hole binary system. arXiv:1006.0182v1.
szerző
-
Syzdykova Assiya
Gépészmérnöki alapszak (BSc)
alapképzés (BA/BSc)
konzulens
-
Dr. Dombóvári Zoltán
adjunktus, Műszaki Mechanikai Tanszék
