Gyűrűn gördülő kosárlabda egyensúlyi mozgásainak meghatározása

Biztos sokan eltöprengtek már azon, hogy mitől függ, hogy a döntő pillanatban eldobott kosárlabda bemegy-e vagy sem. Pedig már úgy tűnt, hogy bent van, hiszen többször körbe gurult a gyűrűn. Ebben a dolgozatban erre a kérdésre keresünk választ egy egyszerű modell segítségével.

Első lépésként meghatároztuk a gyűrűn gördülő kosárlabda mozgásegyenleteit. A labdát és a gyűrűt is merev testnek tekintettük. A testek között ható geometriai kényszert ideális nyomó kényszernek feltételeztük, emiatt a labda középpontja minden pillanatban egy tóruszfelületre esett. Az így definiált dinamikai rendszert öt általános koordinátával lehet jellemezni, melyek közül kettővel leírhatjuk a labda középpontjának helyzetét a tóruszfelületen. További három koordináta, az Euler – szögek segítségével írható le a labda szöghelyzete.

A számításokat több, egymásba ágyazott koordináta rendszerben végeztük el, melyeket a golyó pozíciójához és irányához kötöttük. Ezekre azért volt szükség, hogy az egyenleteket áttranszformálva rövidebb kifejezésekkel tudjunk dolgozni.

A modellezés során feltételeztük, hogy a labda folyamatosan gördül a gyűrűn, az így fellépő kinematikai kényszereket a számítások során figyelembe vettük. A keresett mozgásegyenleteket Appell – egyenletekkel határoztuk meg. Ehhez kvázi-sebességeknek a labdával együtt mozgó rendszerben felírt szögsebességének koordinátáit választottuk. Így a labda sebességi állapota egy „keringő”, egy „áteső” és egy „perdülő” mozgás szuperpozíciójaként adódik.

Az Appell – egyenletek eredménye egy nyolcegyenletes differenciálegyenlet rendszer, melyből a ciklikus koordináták leválasztásával egy négy egyenletes rendszert kaptunk. Ennek a rendszernek az egyensúlyi helyzeteit vizsgálva választ kaphatunk arra a kérdésre, hogy a dobás pontot ér-e.

szerző

• 
  Havas Vince
  gépészmérnöki
  nappali alapszak

konzulens

• 
  Dr. Antali Máté
  óraadó adjunktus, Műszaki Mechanikai Tanszék