Kettős inga stabilizálása paraméteres gerjesztéssel
Kettős inga stabilizálása paraméteres gerjesztéssel
Csörgő András BSc III. évf
e-mail: csorgo.andris@gmail.com
Konzulens: Dr. Insperger Tamás, Műszaki Mechanikai Tanszék
e-mail: insperger@mm.bme.hu
Kulcsszavak: paraméteres gerjesztés, dupla inverz inga, stabilizálhatóság, Floquet-elmélet
A dolgozatban egy kettős inga legfelső egyensúlyi helyzetének stabilitását vizsgáljuk a felfüggesztési pont függőleges rezgetése okozta paraméteres gerjesztés esetén. A két szabadsági fokú rendszer mozgásegyenletét a Newton-egyenletekkel és a másodfajú Lagrange-egyenlettel vezetjük le. A felső egyensúlyi helyzet körüli linearizálás után egy időben változó együtthatót tartalmazó lineáris differenciálegyenlet kapunk. Amennyiben a felfüggesztési pont rezgetése periodikus, akkor a megfelelő periodikus együtthatójú lineáris differenciálegyenlet stabilitását a Floquet-elmélet alapján határozhatjuk meg. Az elmélet szerint a rendszer akkor aszimptotikusan stabilis, ha a főmátrix sajátértékei abszolút értékben 1-nél kisebbek. Mivel a főmátrix általános esetben nem határozható meg zárt alakban, a periodikus rendszerek stabilitását közelítő módszerekkel szokták meghatározni. A kettős inga esetében a periodikus együtthatót szakaszonként állandó függvénnyel közelítjük, és az egyes szakaszok közötti megoldást csatoljuk, így a főmátrix egyfajta diszkrét közelítését kapjuk. A stabilitási tulajdonságokat így a főmátrix sajátértékeinek numerikus vizsgálatával lehet meghatározni. A cél olyan rezgetési frekvencia és amplitúdó kiválasztása, amely esetén a kettős inga a felső egyensúlyi helyzetében (amikor mindkét inga felfelé áll) stabilis lesz. A szakirodalomban fellelhető egy szabadsági fokú inverz inga mintájára stabilitási térképeket készítünk a rezgetési frekvencia és amplitúdó paraméterek síkján, amelyről a stabil tartományok kiválaszthatók. A számítás során az ingák hosszát és tömegét paraméterként kezeljük, így különböző kettős inga konfigurációk esetén is meghatározhatjuk a felső egyensúlyi helyzet stabilizálhatóságának feltételét.
Az stabilizálás megvalósítására egy kísérleti berendezést tervezünk egy rezgő fűrész segítségével, amellyel az elméleti levezetések alapján történő stabilizálást kísérletileg is igazoljuk.
Irodalom:
1. Insperger, T., Horváth, R., Pendulum with harmonic variation of the suspension point, Periodica Polytechnica - Mechanical Engineering, 44 (2000), pp. 39-46.
2. Farkas, M., 1994. Periodic Motions, Springer, New York.
3. Hirsch, M. W., Smale, S., 1974. Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra, Academic Press, Berkeley.
szerző
-
Csörgő András
mechatronikai mérnöki
nappali alapszak
konzulens
-
Dr. Insperger Tamás
egyetemi tanár, Műszaki Mechanikai Tanszék
