Egymáshoz közeli sajátkörfrekvenciájú rugós szerkezet
Egymáshoz közeli sajátkörfrekvenciájú rugós szerkezet
Jáger Dávid BSc III. évf.
e-mail: jager.david14@gmail.com
Konzulens: Bachrathy Dániel
e-mail: bachrathy@mm.bme.hu
A TDK témám egy egymáshoz közeli sajátkörfrekvenciájú rugós szerkezet. Az alap ötlet egy rezgőrendszer tervezése, amelynél egy ritka és komplikált jelenség zajlik le, a lebegés. Erre a célra választottam egy olyan hengeres csavarrugó tervezését, amelynek a végére adott tehetetlenségi nyomatékú és tömegű testet helyezve létre jön ez a jelenség, azaz ebben a példában a longitudinális és a torziós sajátkörfrekvenciái megegyeznek, vagy kellően közel esnek egymáshoz. Az alapmodell egy egyik végén tökéletesen rögzített, másik végén szabadon mozgó rugó.
Kis elmozdulásokat és tengelyirányú mozgást feltételezve a rendszer két szabadságfokú: a rugó tengelyével párhuzamos irányú elmozdulás és elfordulás. A további vizsgálatokhoz meghatároztam a szerkezet merevségi és tömegmátrixát, hogy kiszámoljam a sajátkörfrekvenciákat. Mivel a rugó esetében a merevségi mátrix nem diagonális, így a meghatározására a Castigliano-tételt alkalmaztam, amely szerint az alakváltozási energiának a szerkezetet terhelő valamely koncentrált erő szerinti parciális deriváltja megadja az erő támadáspontjának az erő irányába eső elmozdulását. Ehhez egyenes rúdként modelleztem a rugót egységnyi terhelésekkel. A két mátrix meghatározása után képletből meghatározható, hogyha a sajátértékek (sajátkörfrekvenciák) azonosak, akkor a valós számhalmazon nincs ilyen megoldás a rugós szerkezetre, tehát nem lehet ilyen rendszert létrehozni. Ennek a problémának a kiküszöbölésére olyan tömegűnek és tehetetlenségűnek kell lennie a rugóra szerelt tömegnek, amelynek hatására a sajátkörfrekvenciák közel essenek egymáshoz. Ehhez a két frekvencia relatív eltérését, azaz azok összegének és különbségnek hányadosát vizsgáltam és kerestem ennek a maximumát adott rugó paraméterek (középátmérő, huzalátmérő, meredekség, menetek száma) alapján. Megmutattam, hogy a maximuma kizárólag a menetemelkedés szögétől függ fordított arányban, azaz minél kisebb az „α” menetemelkedés, annál nagyobb a maximum értéke.
A számolások eredménye, hogy egy 2°-os menetemelkedésű és megfelelő tömegű illetve tehetetlenségű testet választva a sajátkörfrekvenciák összegének és különbségének hányadosa esetünkben meghaladhatja a 28-at, amely segítségével a lebegés jelensége kiválóan szemléltethető. Így egy olyan rezgőrendszert kaptam, mely sajátfrekvenciáinak az értéke 10 rad/s körüli és az eltérések csak tizedes nagyságrendűek.
Irodalom:
1. Muttnyánszky Á.: Szilárdságtan (1981)
2. Documentation for Matlab R2011a
3. M. Csizmadia Béla, Nándori Ernő: Mechanika mérnököknek, Mozgástan (1997)
4. Pattantyús Á. G.: Gépész- és villamosmérnökök Kézikönyve 2. Alaptudományok - anyagismeret
szerző
-
Jáger Dávid
gépészmérnöki
nappali alapszak
konzulens
-
Dr. Bachrathy Dániel
docens, Műszaki Mechanikai Tanszék
