Csonkolt ellipszoid egyensúlyi helyzetei
A konvex testek egyensúlyi pontjai az ókortól kezdve érdeklődésre tartanak számot a kutatók körében. Ezekben a pontokban a test érintősíkja merőleges a pontot a test súlypontjával összekötő szakaszra, de megfeleltethetőek azon, a test felszínén definiált függvény stacionárius pontjainak is, melynek értéke az adott pontnak a test tömegközéppontjától mért távolsága. Az elfajuló esetektől eltekintve az egyensúlyi pontoknak három típusa létezik: stabil, instabil és nyeregpont. Ha egy konvex testnél ezek számát S, U és H jelöli, akkor a Poincaré-Hopf tétel alapján teljesül rájuk az S+U–H=2 összefüggés, így pl. S és U ismerete meghatározza H értékét.
Domokos és Várkonyi [1] egy eredménye alapján tudjuk, hogy minden pozitív (S,U) számpárhoz létezik olyan test, melynek S stabil és U instabil egyensúlyi pontja van. A bizonyítás elve az, hogy veszünk egy (1,1) osztályba tartozó testet (ilyen pl. a Gömböc), és lokális geometriai deformációk alkalmas sorozatát alkalmazzuk, melyek mindegyike valamelyik egyensúlyi pont egy környezetének síkkal vett csonkolásával egy (S,U) osztályú testből (S+1, U) vagy (S, U+1) osztályú konvex testet hoz létre. Ezeket a deformációkat hívjuk Kolumbusz-lépéseknek.
Ez a dolgozat az egyik legegyszerűbb konvex test, az ellipszoid általános, síkkal történő csonkolás során létrejövő egyensúlyi helyzeteivel foglalkozik. Az ellipszoid az (S,U)=(2,2) osztályba tartozik. Az egyensúlyi helyzeteinek változása síkkal való csonkolás esetén csak nagyon kis lecsapásokra tisztázott [2]. Ezen tanulmány célja olyan összefoglaló képet adni a vizsgált test statikus egyensúlyáról, mely általánosan megadja a létrejövő egyensúlyi pontok számát és fajtáját a lecsapási sík normálvektora és a lecsapás mélységének függvényében.
Ehhez egy általános R=1 sugarú gömbből indulunk ki, melynek az ellipszoid affin képe. Maga az affin transzformáció egy szimmetrikus mátrixszal való szorzásként adható meg, melynek sajátértékei az ellipszoid féltengelyeinek hosszai, saját-alterei pedig a tengelyirányok. Egyensúlyi pontok szempontjából a kérdéses tartomány a létrejövő síkfelület, illetve a sík határa, mely egy ellipszist határoz meg. A síkon 1 vagy 0 egyensúlyi pont képződhet, a határon a változás már nem ilyen egyszerű. A létrehozott algoritmus a határon létrejövő egyensúlyi pontokat térképezi fel egy-egy adott lecsapás esetén. Az algoritmus egy alkalmazásaként egy adott ellipszoidra meghatározzuk a létrejövő egyensúlyi pontok számát és típusát, a lecsapó sík helyének és a lecsapás mélységének függvényében.
[1] G. Domokos, Z. Lángi, T. Szabó, The genealogy of convex solids, arXiv:1204.5494v1, 2012
[2] G. Domokos and P. Várkonyi, Static equilibria of rigid bodies: dice, pebbles and the Poincaré–Hopf theorem. Journal of Nonlinear Science, 16:255–281, 2006
