Tetraéderek egyensúlyairól

Az alábbi TDK dolgozat teljes tartalma egy, a The Mathemathical Intelligencer folyóiratban megjelent cikk pontos tartalmával egyezik meg, mely Almádi Gergő, Robert J. MacG. Dawson, Domokos Gábor és Regős Krisztina közös munkája. A cikk az alábbi linken érhető el: https://doi.org/10.1007/s00283-023-10294-2

Egy tömör test, mely a rá ható gravitációs erő hatására egy síkon fekszik, rendelkezik legalább egy stabil egyensúlyi ponttal a felszínén (mely pont a felszínnek a test súlypontjához legközelebb eső pontja), és egy instabil egyensúlyi ponttal (mely a súlyponttól legtávolabbi pont a felszínen). Egy testet, melynek egyetlen stabil (illetve instabil) egyensúlyi pontja van monostabilnak (illetve mono-instabilnak) nevezünk. Ha ezen két tulajdonság közül az egyikkel rendelkezik, akkor a test monostatikus, ha mindkettővel, akkor mono-monostatikus.

Conway és Guy [2] megmutatta, hogy egy homogén poliéder lehet monostabil, de azt is, hogy egy homogén tetraéder legalább két stabil egyensúllyal rendelkezik. Ugyanazon gondolat mentén [7] lett bizonyítva, hogy egy homogén tetraédernek legalább két instabil egyensúlya van. Conway [3] azt is állította, hogy létezhet inhomogén monostabil tetraéder. Az alábbiakban formális bizonyítását adjuk ennek az állításnak, és megmutatjuk, hogy minden monostabil tetraéder legalább 4 egyensúllyal rendelkezik. Azt is igazoljuk, hogy tompa lapszögek (illetve élszögek) bizonyos összeállításai egyenértékűek a monostabil (illetve mono-instabil) súlyozás létezésével.

Az eredményeink magukban foglalják, hogy mono-monostatikus tetraéder nem létezik. Ellenben megmutatjuk, hogy bármilyen lap-, él- és csúcsszámhoz, amihez tartozik poliéder, létezik mono-monostatikus poliéder is.

Irodalom:

[1] A. Cayley. On contour and slope lines. Phil. Mag. XVIII (1859), 264–268.

[2] J. H. Conway and R. K. Guy. Stability of polyhedra. SIAM Rev. 11 (1969), 78–82.

[3] R. Dawson. Monostatic simplexes. Amer. Math. Monthly 92 (1985), 541–546.

[4] R. Dawson, W. Finbow, and P. Mak. Monostatic simplexes II. Geom. Dedicata 70 (1998), 209–219.

[5] R. Dawson and W. Finbow. What shape is a loaded die? Mathematical Intelligencer 21:1 (1999), 32–37.

[6] R. Dawson and W. Finbow. Monostatic simplexes III. Geom. Dedicata 84 (2001), 101–113.

[7] G. Domokos, F. Kovács, Z. Lángi, K. Regős, and P. T. Varga. Balancing polyhedra. Ars Mathematica Contemporanea 19:1 (2020), 95–124.

[8] A. Heppes. A double tipping tetrahedron. SIAM Rev 9:3 (1967), 599–600.

[9] J. C. Maxwell. On hills and dales. Phil. Mag. XXIX (1870) 233–240.

[10] J. Milnor. Morse Theory. Princeton University Press, 1963.

szerző

• 
  Almádi Gergő
  Építészmérnöki mesterképzési szak osztatlan
  egységes, osztatlan képzés

konzulensek

• 
  Dr. Domokos Gábor
  egyetemi tanár, Morfológia és Geometriai Modellezés Tanszék
• 
  Regős Krisztina
  doktorandusz, Morfológia és Geometriai Modellezés Tanszék